Esferas

Arquimedes pediu que uma esfera dentro de um cilindro fosse gravada em seu túmulo, porque a esfera tem exatamente dois terços do volume do cilindro.

Uma gravura encontrada debaixo do mato

Por que um matemático iria querer essa figura no túmulo? Há cerca de 2200 anos, Arquimedes de Siracusa provou dois resultados em sua obra Sobre a esfera e o cilindro. O primeiro: a área da superfície de uma esfera é quatro vezes a área do seu círculo máximo (o maior círculo que dá para cortar nela), então A = 4πr². O segundo: seu volume é dois terços do volume do cilindro que se ajusta exatamente em volta dela, V = ⅔ × πr² × 2r = ⁴⁄₃ πr³. Plutarco escreve que, de todas as suas descobertas, foi esta que Arquimedes pediu à família e aos amigos que pusessem em seu túmulo: um cilindro envolvendo uma esfera, com a razão entre eles escrita ao lado.

Uma casca de laranja não fica plana

Arquimedes precisou de argumentos engenhosos porque uma esfera não oferece nada para desenrolar. Ela é o conjunto de todos os pontos à mesma distância r de um centro, sem faces planas, sem arestas e sem cantos. Um cilindro ou um cone podem ser cortados e deitados no plano. Uma esfera não pode, a menos que você a estique ou rasgue. Tente com uma laranja: aperte a casca para deixá-la plana e ela sempre racha ou enruga em algum lugar. Os cartógrafos esbarram no mesmo problema pelo outro lado, e é por isso que todo mapa-múndi plano distorce algumas áreas.

O cilindro que se ajusta em volta da esfera

Aperte o botão Cilindro de Arquimedes no modelo. O cilindro tem o raio r da esfera e altura 2r. Sua superfície lateral se desenrola num retângulo de largura 2πr e altura 2r, então sua área é 4πr², exatamente a área da esfera. Conte também as duas pontas circulares e a superfície inteira do cilindro é 6πr²; os 4πr² da esfera são dois terços disso. Superfície e volume dão, os dois, dois terços do cilindro, o par de resultados de que Arquimedes tanto gostava.

Eis uma curiosidade para conferir no modelo. Uma esfera de raio 3 tem superfície 4π × 9 = 36π e volume ⁴⁄₃ π × 27 = 36π, os dois cerca de 113.1. Isso só acontece em r = 3, porque 4πr² = ⁴⁄₃ πr³ só quando r = 3. As unidades continuam diferentes (cm² contra cm³), então os números coincidem, mas as grandezas não. Esferas maiores têm o número do volume maior. As menores têm o número da área maior.

Meio melão e uma bola de 22 cm

Corte uma esfera ao meio e você tem uma semiesfera. Sua parte curva é metade de 4πr², ou seja, 2πr². Uma metade maciça, como meio melão, também tem um círculo plano de área πr², então sua superfície inteira é 3πr². Para r = 5 cm isso dá 75π ≈ 235.6 cm². O volume é metade do da esfera, ⅔ πr³. Uma bola de 22 cm de diâmetro tem r = 11 cm. Sua superfície é 4π × 121 ≈ 1520.5 cm² e seu volume ⁴⁄₃ π × 1331 ≈ 5575 cm³, então ela comporta cerca de 5.6 litros de ar.