Пирамиды и конусы

Конус воды, вылитый в цилиндр с тем же основанием и высотой, заполняет его ровно на треть.

«Конус равен половине цилиндра» звучит правильно, но это неверно

Поставь рожок мороженого рядом с прямым стаканом той же ширины и высоты и спроси, какую часть стакана заполнит рожок. Хочется ответить «половину». Выглядит как половина, ведь у основания конус такой же ширины, как стакан, и равномерно сужается до точки. Но узкая часть у вершины вмещает очень мало. Перелей воду из полного конуса в подходящий цилиндр, и она заполнит ровно треть. Три полных конуса заполняют цилиндр.

Это правило работает для любого заострённого тела. У пирамиды в основании многоугольник, а боковые грани являются треугольниками; у четырёхугольной пирамиды квадратное основание и четыре треугольника. У конуса в основании круг и одна боковая кривая поверхность. Оба сужаются до одной точки, вершины, и для обоих V = ⅓ × площадь основания × высота. Для четырёхугольной пирамиды V = ⅓ a²h, а для конуса V = ⅓ πr²h. Учителя часто показывают правило с водой или песком. Настоящее доказательство требует интегрального исчисления или хитрого разрезания, но опыт с переливанием можно повторить дома с бумажными конусами.

Какая высота входит в формулу

Вторая ловушка связана с высотой. В V = ⅓ Bh буква h обозначает высоту, перпендикулярную основанию: её измеряют прямо вверх от основания до вершины. Наклонное расстояние по грани является другой длиной, апофемой, и нужно оно для площади поверхности. У четырёхугольной пирамиды апофема равна высоте каждой треугольной грани, от середины ребра основания до вершины. Внутри пирамиды прячется прямоугольный треугольник. Один катет равен высоте h, другой половине основания, a/2, а гипотенуза является апофемой s, поэтому по теореме Пифагора s = √(h² + (a/2)²).

В модели a = 6 см и h = 4 см, поэтому s = √(16 + 9) = 5 см. Каждый треугольник равен ½ × 6 × 5 = 15 см², четыре вместе дают 60 см², а с основанием 36 см² вся поверхность равна 96 см². Подставь в формулу объёма 5 вместо 4, и ответ будет неверным.

Конус раскрывается в кусок пиццы

Разверни боковую поверхность конуса, и получится сектор, часть круга в форме куска пиццы. Его радиус равен образующей конуса l = √(r² + h²). Его дуга один раз обходит основание, поэтому длина дуги должна равняться длине окружности основания, 2πr. Целый круг радиуса l имел бы длину окружности 2πl. Значит, сектор составляет долю r/l этого круга, а его угол равен 360° × r/l. При r = 3 и l = 5 угол равен 360° × 3/5 = 216°, а площадь (r/l) × πl² = πrl = 15π.

Добавь основание, и вся поверхность конуса будет A = πr² + πrl. Для конуса в модели это 9π + 15π = 24π ≈ 75.4 см², а его объём ⅓ × π × 9 × 4 = 12π ≈ 37.7 см³. У рожка мороженого нет крышки, поэтому вафля является только частью πrl. Праздничные колпаки, дорожные конусы и воронки вырезают из секторов так же. Конструктор выбирает угол 360° × r/l, чтобы получить нужную ширину внизу.