Грани, рёбра и вершины: формула Эйлера
Посчитай грани любого обычного многогранника, вычти рёбра и прибавь вершины, и ответ всегда будет 2.
Перетащи, чтобы повернуть. Колёсико или щипок для масштаба.
Посчитай пирамиду, прежде чем читать правило
Включи в модели «Вершины и рёбра» и сам посчитай четырёхугольную пирамиду. Сначала грани, потом рёбра, потом угловые точки, которые называются вершинами. Запиши три числа. Должно получиться 5 граней (квадрат и четыре треугольника), 8 рёбер (четыре вокруг основания и четыре к вершине) и 5 вершин. Теперь вычисли F − E + V. Выйдет 5 − 8 + 5 = 2. Запомни эту 2. Переключись на куб: 6 − 12 + 8 = 2. Потом треугольная призма: 5 − 9 + 6 = 2.
Единственная сумма, которая не меняется
Эти три тела являются многогранниками: у них плоские грани-многоугольники, прямые рёбра и вершины. Цилиндры, конусы и шары многогранниками не являются, потому что у них есть кривые поверхности. Правило продолжает работать для пятиугольной призмы (7 − 15 + 10), шестиугольной пирамиды (7 − 12 + 7), фигуры футбольного мяча с 32 гранями и любого другого многогранника без дыр. Три числа сильно меняются от тела к телу. Это сочетание не меняется никогда. Число, которое остаётся постоянным, когда всё остальное меняется, математики называют инвариантом.
| Тело | F | E | V | F − E + V |
|---|---|---|---|---|
| Тетраэдр | 4 | 6 | 4 | 2 |
| Куб | 6 | 12 | 8 | 2 |
| Октаэдр | 8 | 12 | 6 | 2 |
| Додекаэдр | 12 | 30 | 20 | 2 |
| Икосаэдр | 20 | 30 | 12 | 2 |
| Треугольная призма | 5 | 9 | 6 | 2 |
| Четырёхугольная пирамида | 5 | 8 | 5 | 2 |
Как найти недостающее число
Перепиши формулу, и по двум числам найдёшь третье: E = F + V − 2. У многогранника с 8 гранями и 12 вершинами должно быть 8 + 12 − 2 = 18 рёбер, и такова шестиугольная призма. У многогранника с 20 гранями и 12 вершинами 30 рёбер; это икосаэдр. Формула ловит и ошибки счёта. Если, считая тело вручную, ты получил 1 или 3, значит, ты что-то пропустил или посчитал дважды.
Призмы и пирамиды подчиняются простым закономерностям. У призмы, в основании которой n сторон, n + 2 грани, 3n рёбер и 2n вершин, и (n + 2) − 3n + 2n = 2 при любом n. У пирамиды с n-угольным основанием n + 1 грань, 2n рёбер и n + 1 вершина: (n + 1) − 2n + (n + 1) = 2. Запись чисел через n уже сама по себе является маленьким доказательством. Она охватывает все призмы и все пирамиды одной строкой.
| Формула Эйлера | F − E + V = 2 |
| Куб: F, E, V | 6, 12, 8 |
| n-угольная призма | F = n + 2, E = 3n, V = 2n |
| n-угольная пирамида | F = n + 1, E = 2n, V = n + 1 |
- Считать, что у куба 8 рёбер или 12 вершин. Эти два числа легко перепутать. У куба 8 вершин и 12 рёбер: 4 сверху, 4 снизу и 4 вертикальных.
- Идти от грани к грани, складывать все стороны и называть это числом рёбер. Каждое ребро общее у двух граней, поэтому такая сумма считает каждое ребро дважды. Для куба 6 × 4 = 24 и 24 ÷ 2 = 12.
- Применять F − E + V = 2 к цилиндру. Правило относится к многогранникам. У цилиндра кривые поверхности, нет вершин, а рёбра являются окружностями, поэтому подсчёт не работает.
- Ожидать 2 для тела в форме кольца, например рамки для картины. Тело с одной дырой даёт 0. Значение 2 верно только для тел без дыр.
- Сколько рёбер у куба?
- Сколько вершин у четырёхугольной пирамиды?
- У многогранника 8 граней и 12 вершин. Сколько рёбер?
- У многогранника 20 граней и 30 рёбер. Сколько вершин?
- Сколько рёбер у пятиугольной призмы?
- Сколько граней у шестиугольной пирамиды?
- Какое тело не является многогранником?
- Цилиндр
- Треугольная призма
- Четырёхугольная пирамида
- Ты посчитал тело без дыр и получил F − E + V = 3. Что это скорее всего значит?
- Ошибка в подсчёте
- Новый вид тела
- Формула не работает для больших тел
- В каком году Эйлер описал формулу в письме Гольдбаху?
- F − E + V для многогранника в форме кольца, как рамка для картины?
- Многогранники без дыр: F − E + V = 2.
- E = F + V − 2 находит недостающее число.
- Призма с n-угольным основанием: n + 2, 3n, 2n. Пирамида: n + 1, 2n, n + 1.
- Эйлер описал её в 1750 году; тела с кривыми поверхностями и с дырами исключены.
Источники курса (8)
- (checked 2026-10-17; reordered 2026-10-19: curriculum and textbooks first, then reference works and units, history last)
- Curriculum: 교육부 고시 제2022-33호 [별책 8] 수학과 교육과정 (ncic.re.kr/inv/org/download.do?year=2022&seq=10003559&orgType=ogi4, PDF read 2026-10-19: 초등학교 5~6학년군 [6수03-03]~[6수03-08] 직육면체·정육면체·각기둥·각뿔·원기둥·원뿔·구, 원기둥의 전개도, "각뿔과 원뿔의 전개도는 다루지 않는다", 원주율의 근삿값 3.14, [6수03-17]~[6수03-19] 직육면체와 정육면체의 겉넓이, 1cm³·1m³, 부피; 3~4학년군 [4수03-17] 들이 1L·1mL; 중학교 1~3학년군 [9수03-06] 부채꼴, [9수03-07] 다면체와 회전체, [9수03-08] 입체도형의 겉넓이와 부피, 도형의 닮음·닮음비; 오일러 공식은 성취기준에 이름으로 없음)
- Textbook: OpenStax Prealgebra 2e, 9.6 Solve Geometry Applications: Volume and Surface Area (openstax.org/books/prealgebra-2e/pages/9-6-solve-geometry-applications-volume-and-surface-area)
- Reference: Wolfram MathWorld, Polyhedral Formula (mathworld.wolfram.com/PolyhedralFormula.html)
- AMS Feature Column, Euler's Polyhedral Formula (ams.org/publicoutreach/feature-column/fcarc-eulers-formula)
- BIPM SI Brochure and NIST SI Units - Volume (litre and cubic metre)
- History block only: MacTutor, Archimedes biography (On the Sphere and Cylinder, sphere = 2/3 of the circumscribed cylinder, the figure on his tomb, Cicero's search; mathshistory.st-andrews.ac.uk/Biographies/Archimedes/)
- MacTutor, A history of Topology (Euler's 1750 letter to Goldbach with v − e + f = 2; mathshistory.st-andrews.ac.uk/HistTopics/Topology_in_mathematics)
Проверено: 2026-10-17