Цилиндры

Сними этикетку с консервной банки, и она ляжет плоским прямоугольником, ширина которого равна длине окружности банки, 2πr.

Разрежь бумажную трубку прямо вниз

Найди пустую втулку от туалетной бумаги и ножницы. Разрежь её один раз, прямо сверху вниз, и расправь. Получится прямоугольник. Его высота равна высоте втулки. А ширина? Это путь один раз вокруг круга, длина окружности 2πr. Модель делает то же самое, когда ты нажимаешь «Развернуть»: боковая поверхность раскрывается по заднему шву, сохраняет ширину, пока изгиб распрямляется, и в конце два круга касаются длинных сторон прямоугольника.

Боковая поверхность является прямоугольником шириной 2πr и высотой h

Значит, у боковой поверхности, на которой спотыкается большинство, площадь 2πr × h = 2πrh. Добавь два круга на концах, и получится вся поверхность: A = 2πr² + 2πrh, что можно записать и как 2πr(r + h). Цилиндр в модели сначала имеет r = 2 см и h = 5 см, поэтому его поверхность равна 8π + 20π = 28π ≈ 87.96 см².

У настоящих предметов не всегда есть оба круга. У стакана без крышки только дно, поэтому его поверхность равна πr² + 2πrh. У трубы или картонной втулки кругов нет вообще, и считается только 2πrh. В реальной задаче половина работы состоит в том, чтобы понять, какие поверхности на самом деле есть.

Вернёмся к этикеткам. Этикетка для банки радиусом 4 см и высотой 10 см имеет площадь 2π × 4 × 10 = 80π ≈ 251.3 см². Её ширина должна быть 2π × 4 ≈ 25.1 см, а на практике чуть больше, чтобы концы зашли друг на друга и склеились. Тот же прямоугольник появляется всякий раз, когда что-то оборачивают вокруг цилиндра: картон внутри рулона туалетной бумаги, металлический лист, свёрнутый в трубу, афиша вокруг колонны.

Объём подчиняется правилу призмы с кругом в основании

У цилиндра два одинаковых параллельных круглых основания и одинаковое сечение по всей высоте между ними. Это снова идея призмы, поэтому V = площадь основания × высота = πr²h. При r = 2 см и h = 5 см V = π × 4 × 5 = 20π ≈ 62.83 см³. Символ π обозначает отношение длины любой окружности к её диаметру, примерно 3.14159. Оставляй ответы кратными π, например 20π, и переводи их в десятичные дроби только в конце, чтобы ошибки округления не успели накопиться по ходу решения.

Радиус важнее высоты. Удвой высоту, и объём удвоится. Удвой радиус, и площадь основания станет в четыре раза больше, а с ней и объём. Поставь в модели r = 2 и запомни объём, потом попробуй r = 4 при той же высоте. Вот почему чуть более широкий стакан вмещает гораздо больше, чем чуть более высокий.