Zylinder

Zieh das Etikett von einer Konservendose ab, dann liegt es flach als Rechteck, dessen Breite der Umfang der Dose ist, 2πr.

Eine Papprolle gerade aufschneiden

Nimm eine leere Klopapierrolle und eine Schere. Schneide einmal gerade von oben nach unten und drück sie flach. Du erhältst ein Rechteck. Seine Höhe ist die Höhe der Rolle. Und seine Breite? Das ist die Strecke einmal um den Kreis herum, der Umfang, 2πr. Das Modell macht dasselbe, wenn du auf Aufklappen drückst: Die Mantelfläche öffnet sich an der hinteren Naht, behält ihre Breite, während sich die Krümmung streckt, und am Ende berühren die beiden Kreise die langen Kanten des Rechtecks.

Der Mantel ist ein Rechteck, 2πr breit und h hoch

Die Mantelfläche, an der die meisten hängen bleiben, hat also den Flächeninhalt 2πr × h = 2πrh. Addiere die beiden Kreise an den Enden, und du hast die ganze Oberfläche: A = 2πr² + 2πrh, was man auch 2πr(r + h) schreiben kann. Der Zylinder im Modell beginnt mit r = 2 cm und h = 5 cm, seine Oberfläche ist also 8π + 20π = 28π ≈ 87.96 cm².

Echte Gegenstände haben nicht immer beide Kreise. Ein Becher ohne Deckel hat nur einen Boden, seine Oberfläche ist also πr² + 2πrh. Ein Rohr oder eine Papprolle hat gar keine Kreise, und nur 2πrh zählt. Bei einer echten Aufgabe besteht die halbe Arbeit darin, herauszulesen, welche Flächen tatsächlich da sind.

Zurück zu den Etiketten. Ein Etikett für eine Dose mit dem Radius 4 cm und der Höhe 10 cm hat den Flächeninhalt 2π × 4 × 10 = 80π ≈ 251.3 cm². Es muss 2π × 4 ≈ 25.1 cm breit sein, in der Praxis etwas mehr, damit die Enden überlappen und verklebt werden können. Dasselbe Rechteck taucht immer auf, wenn etwas um einen Zylinder gewickelt wird: die Pappe in einer Klopapierrolle, ein Blech, das zu einem Rohr gerollt wird, ein Plakat um eine Säule.

Das Volumen folgt der Prismenregel mit einem Kreis als Grundfläche

Ein Zylinder hat zwei deckungsgleiche, parallele Kreise als Grundflächen und dazwischen überall denselben Querschnitt. Das ist wieder die Idee des Prismas, also ist V = Grundfläche × Höhe = πr²h. Für r = 2 cm und h = 5 cm ist V = π × 4 × 5 = 20π ≈ 62.83 cm³. Das Zeichen π ist das Verhältnis von Umfang zu Durchmesser bei jedem Kreis, etwa 3.14159. Lass Ergebnisse als Vielfache von π stehen, etwa 20π, und wandle sie erst am Ende in Dezimalzahlen um, damit sich Rundungsfehler unterwegs nicht anhäufen können.

Der Radius zählt mehr als die Höhe. Verdopple die Höhe, und das Volumen verdoppelt sich. Verdopple den Radius, und die Grundfläche wird viermal so groß, das Volumen also auch. Stell im Modell r = 2 ein und merk dir das Volumen, probier dann r = 4 bei gleicher Höhe. Deshalb fasst ein etwas breiterer Becher viel mehr als ein etwas höherer.