Volumen von Prismen

Ein Aquarium, 50 cm lang, 30 cm breit und 40 cm tief, fasst 60 000 cm³ Wasser, das sind genau 60 Liter.

Wie viele 1-Liter-Flaschen füllen das Aquarium?

Probier das, bevor du weiterliest. Das Aquarium oben ist 50 cm lang, 30 cm breit und 40 cm tief, und du füllst es mit 1-Liter-Flaschen. Wie viele Flaschen? Schreib zuerst eine Schätzung auf, dann eine Rechnung, wenn du kannst. Die Antwort steht am Ende des nächsten Abschnitts. Dafür brauchst du nur zwei Ideen: Würfel zählen und wissen, wie groß ein Liter ist.

Schichten aus Zentimeterwürfeln

Das Volumen beantwortet eine Frage: Wie viele Einheitswürfel passen hinein? Stell dir einen Karton vor, 6 cm lang, 4 cm breit und 3 cm hoch. Die unterste Schicht fasst 6 × 4 = 24 Würfel mit 1 cm Kantenlänge. Drei Schichten reichen bis oben, der Karton fasst also 24 × 3 = 72 Würfel, also 72 cm³. Niemand zählt die Würfel einzeln. Das Bild ist da, weil es die Formel erklärt: Volumen = Länge × Breite × Höhe, also V = lwh.

Jetzt der Liter. Ein Liter sind 1000 cm³, der Raum in einem Würfel mit 10 cm Kantenlänge. Das Aquarium fasst 50 × 30 × 40 = 60 000 cm³, und 60 000 ÷ 1000 = 60. Sechzig Flaschen. Ein Kubikmeter ist ein Würfel mit 100 cm Kantenlänge, also ist 1 m³ = 100 × 100 × 100 = 1 000 000 cm³ = 1000 Liter. Hier steckt ein Muster, das man sich merken sollte. Rechnet man eine Längeneinheit um, ändert sich ein Volumen um die dritte Potenz des Umrechnungsfaktors, nicht um den Faktor selbst: hundertmal die Länge heißt millionenmal so viele Würfel.

Eine Regel für jedes Prisma: Grundfläche mal Höhe

Ein Prisma ist ein Körper mit zwei deckungsgleichen, parallelen Enden (den Grundflächen), die durch ebene rechteckige Seitenflächen verbunden sind. Schneidest du es irgendwo entlang seiner Länge durch, sieht der Schnitt gleich aus, wie Scheiben von einem Brotlaib, also hat jede Scheibe den Flächeninhalt der Grundfläche B, und h Einheiten solcher Scheiben gestapelt ergeben V = B × h. Liegt ein Prisma auf der Seite, nennt man dieselbe Größe meist seine Länge.

Ein Firstzelt und eine dreieckige Schokoladenschachtel sind beide Dreiecksprismen. Die Grundfläche ist ein Dreieck mit der Grundseite b und der Höhe t, also ist B = ½ b t und V = ½ b t L, wobei L die Länge ist. Das Modell beginnt mit b = 4 cm, t = 3 cm und L = 6 cm, das ergibt V = ½ × 4 × 3 × 6 = 36 cm³.

Seine Oberfläche besteht aus zwei Dreiecken und drei Rechtecken. Die beiden Dreiecke ergeben zusammen b × t, und die drei Rechtecke sind alle L lang und jeweils so breit wie eine Seite des Dreiecks. Nimm ein rechtwinkliges Dreieck mit den Katheten 3 cm und 4 cm; die dritte Seite ist 5 cm. Bei einer Länge von 10 cm ist die Oberfläche 2 × 6 + 10 × (3 + 4 + 5) = 12 + 120 = 132 cm². Das Modell benutzt ein gleichschenkliges Dreieck, seine beiden schrägen Seiten sind also gleich: s = √((b/2)² + t²).

Rückwärts rechnen kommt genauso oft vor. Ein Karton soll 120 cm³ fassen, und seine Grundfläche ist 6 cm × 4 cm, also muss die Höhe 120 ÷ 24 = 5 cm sein. Bauleute, Köche und Spediteure machen das jeden Tag. Sie kennen das Volumen, das sie brauchen, und die Stellfläche, die sie haben, und die Höhe ergibt sich aus beidem.