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ホーム›図形と作図›立体の表面積と体積

円柱

缶詰のラベルをはがすと、平らな長方形になります。その横の長さは缶の円周、2πrです。

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「展開する」を押すと、側面の曲面が後ろの継ぎ目から開いて長方形になり、展開図は両側に円を1つずつつけて平らになります。

紙の筒をまっすぐ縦に切る

トイレットペーパーの空の芯とはさみを用意しましょう。上から下までまっすぐ1回切って、平らにします。長方形ができます。縦の長さは筒の高さです。横の長さは？円を1周する長さ、つまり円周2πrです。「展開する」を押すとモデルも同じことをします。側面の曲面は後ろの継ぎ目で開き、曲がりがまっすぐになっても幅は変わらず、最後に2つの円が長方形の長い辺に接します。

側面は横2πr、縦hの長方形

ですから、多くの人がつまずく曲面の部分は、面積が2πr × h = 2πrhです。両はしの2つの円を加えると表面全体になります。A = 2πr² + 2πrhで、2πr(r + h)とも書けます。モデルの円柱はr = 2 cm、h = 5 cmで始まるので、表面積は8π + 20π = 28π ≈ 87.96 cm²です。

円柱の展開図：横2πr、縦hの長方形の長い辺に、半径rの円が1つずつつきます。

実際の物にいつも円が2つあるとは限りません。ふたのないコップには底しかないので、表面積はπr² + 2πrhです。パイプや紙の筒には円がまったくなく、2πrhだけを数えます。実際の問題では、どの面が本当にあるかを読み取ることが仕事の半分です。

ラベルの話にもどりましょう。半径4 cm、高さ10 cmの缶のラベルの面積は2π × 4 × 10 = 80π ≈ 251.3 cm²です。横の長さは2π × 4 ≈ 25.1 cmが必要で、実際には両はしを重ねてのりづけできるよう少し長くします。円柱のまわりに何かを巻くときには、いつも同じ長方形が現れます。トイレットペーパーの芯の紙、丸めてパイプにする金属板、柱に巻くポスター。

体積は底面が円の角柱の規則で求まる

円柱には合同で平行な2つの円の底面があり、その間のどこでも切り口が同じです。これはまた角柱の考え方なので、V = 底面積 × 高さ = πr²hです。r = 2 cm、h = 5 cmなら、V = π × 4 × 5 = 20π ≈ 62.83 cm³です。記号πは、どの円でも円周と直径の比で、約3.14159です。答えは20πのようにπの倍数のままにしておき、最後に小数にしましょう。そうすれば、途中で丸めの誤差がたまることはありません。

高さより半径のほうが効きます。高さを2倍にすると体積は2倍です。半径を2倍にすると底面積が4倍になるので、体積も4倍になります。モデルでr = 2にして体積を書きとめ、高さはそのままでr = 4を試してみましょう。少し太いコップのほうが、少し背の高いコップよりずっと多く入るのはこのためです。

よくある間違い
  • 半径のところに直径を入れる：直径4 cmの缶でπ × 4² × 5とする。 直径4 cmならr = 2 cmです。4を使うと半径が2倍になり、体積は4倍大きく出てしまいます。20πではなく80πです。
  • 側面の曲面をπr × hや2r × hと書く。 開いた側面の横の長さは円周全体、2πrです。πrはその半分で、2rはただの直径です。
  • ふたのないコップやパイプに円を2つ加える。 実際にある面だけを数えます。ふたのないコップは円が1つ、パイプは0です。
  • 最初の段階でπを丸め、その後も段階ごとにまた丸める。 小さな丸めの誤差は進むにつれて大きくなります。最後の行までπのままにして、丸めるのは1回だけにしましょう。
先生からひとこと学習者がつまずくのはたいてい側面の曲面で、切り開いた紙の筒はどんな説明よりも早く解決してくれます。長方形の名前を言う前に、その横の長さを聞いてみましょう。「直径」と答える人がいたら、ひもで筒のまわりをはかって比べます。韓国の2022年教育課程では、小学校でπに3.14を使い、面倒な計算には電卓を使います。円柱の展開図をかくのは小学校5・6年の内容で、表面積と体積は中学校で求めます。
  1. r = 2 cm、h = 5 cmの円柱の体積は（小数第2位まで）？
  2. 同じ円柱の表面積は？
  3. r = 5 cmの円柱の側面を開きます。長方形の横の長さは？
  4. r = 4 cm、h = 10 cmの缶のラベルの面積は（重なりなし）？
  5. なべはr = 10 cm、h = 20 cmです。およそ何リットル入りますか？
  6. 円柱の半径を2倍にする（高さは同じ）と、体積は何倍になりますか？
  7. 円柱の展開図は何でできていますか？
    • 長方形1つと円2つ
    • おうぎ形1つと円1つ
    • 長方形3つと三角形2つ
  8. 体積100π cm³、高さ4 cmの円柱があります。半径はいくつですか？
  9. r = 3 cm、h = 8 cmのふたのないコップの表面積は？
ポイント
  • 円柱の体積：πr²h。
  • 側面の曲面は開くと2πr × hの長方形。
  • 表面積：2πr² + 2πrh。
  • 高さより半径が効く：rを2倍にすると体積は4倍。
このコースの出典 (8)
  • (checked 2026-10-17; reordered 2026-10-19: curriculum and textbooks first, then reference works and units, history last)
  • Curriculum: 교육부 고시 제2022-33호 [별책 8] 수학과 교육과정 (ncic.re.kr/inv/org/download.do?year=2022&seq=10003559&orgType=ogi4, PDF read 2026-10-19: 초등학교 5~6학년군 [6수03-03]~[6수03-08] 직육면체·정육면체·각기둥·각뿔·원기둥·원뿔·구, 원기둥의 전개도, "각뿔과 원뿔의 전개도는 다루지 않는다", 원주율의 근삿값 3.14, [6수03-17]~[6수03-19] 직육면체와 정육면체의 겉넓이, 1cm³·1m³, 부피; 3~4학년군 [4수03-17] 들이 1L·1mL; 중학교 1~3학년군 [9수03-06] 부채꼴, [9수03-07] 다면체와 회전체, [9수03-08] 입체도형의 겉넓이와 부피, 도형의 닮음·닮음비; 오일러 공식은 성취기준에 이름으로 없음)
  • Textbook: OpenStax Prealgebra 2e, 9.6 Solve Geometry Applications: Volume and Surface Area (openstax.org/books/prealgebra-2e/pages/9-6-solve-geometry-applications-volume-and-surface-area)
  • Reference: Wolfram MathWorld, Polyhedral Formula (mathworld.wolfram.com/PolyhedralFormula.html)
  • AMS Feature Column, Euler's Polyhedral Formula (ams.org/publicoutreach/feature-column/fcarc-eulers-formula)
  • BIPM SI Brochure and NIST SI Units - Volume (litre and cubic metre)
  • History block only: MacTutor, Archimedes biography (On the Sphere and Cylinder, sphere = 2/3 of the circumscribed cylinder, the figure on his tomb, Cicero's search; mathshistory.st-andrews.ac.uk/Biographies/Archimedes/)
  • MacTutor, A history of Topology (Euler's 1750 letter to Goldbach with v − e + f = 2; mathshistory.st-andrews.ac.uk/HistTopics/Topology_in_mathematics)

確認日: 2026-10-17