拡大：長さを2倍にする
箱のすべての長さを2倍にすると、必要な紙は4倍になりますが、入る量は8倍になります。
ドラッグで回転、スクロールまたはピンチで拡大・縮小。
長さが2倍でも紙は2倍ではない
常識のように感じられる思いこみがあります。箱をどの方向にも2倍にすれば、紙も2倍、入る量も2倍になる、というものです。どちらもまちがいです。1 cmの正方形の辺を2倍にしてみましょう。新しい正方形は2 cm × 2 cmで、もとの正方形が4つ入ります。辺を3倍にすれば9つ入ります。面積は長さ × 長さなので、すべての長さを倍率k倍にすると、面積はk × k = k²倍になります。
正方形だけが特別なわけではありません。半径が2倍の円は面積が4倍で、縦も横も2倍に引きのばして印刷した写真は4倍の紙を使います。
体積はもっと速く増える
体積は長さ × 長さ × 長さなので、k³倍になります。1 cmの立方体を2倍にすると2 cmの立方体になり、小さな立方体が2 × 2 × 2 = 8個入ります。数値で見ると、1辺2 cmの立方体は表面積24 cm²、体積8 cm³です。1辺4 cmでは96 cm²と64 cm³で、4倍と8倍です。架空の小包の箱でも同じことがわかります。20 cm × 15 cm × 10 cmの箱は紙を1,300 cm²使い、3,000 cm³、つまり3リットル入ります。40 cm × 30 cm × 20 cmの箱は5,200 cm²（4倍）を使い、24,000 cm³、つまり24リットル（8倍）入ります。モデルで直方体、円柱、円錐、球について「長さを2倍に」を押してみましょう。形が何であっても、表示は面積 × 4、体積 × 8を示します。
| 倍率 k | 長さ | 面積（k²） | 体積（k³） |
|---|---|---|---|
| 2 | × 2 | × 4 | × 8 |
| 3 | × 3 | × 9 | × 27 |
| 10 | × 10 | × 100 | × 1,000 |
| ½ | × ½ | × ¼ | × ⅛ |
すべての長さがいっしょに変わるときだけ
わなのもう半分は逆のまちがいです。1つの長さしか変わっていないのにk²やk³を使ってしまうことです。円柱の半径はそのままで高さを2倍にすると、体積は2倍になります。それ以上にはなりません。すべての長さが同じ比になっている立体を相似といいます。同じデザインの小さな缶と大きな缶、おもちゃの車と本物の車、建物の模型と本物の建物は、模型が縮尺どおりに作られていれば相似です。
1:50の模型とペンキの缶
建築家は1対50のような縮尺で模型を作ります。模型の長さはどれも実物の1/50なので、面積はどれも実物の1/2,500、体積はどれも実物の1/125,000です。0.4リットルの空気が入る模型の部屋は、50,000リットル、つまり50 m³の本物の部屋を表します。ペンキで考えるとよくわかります。模型にどれだけ少ないペンキしか使わなくても、本物の建物には50倍ではなく2,500倍が必要です。
動物も同じ計算に従います。熱は体全体、つまり体積で作られ、皮膚、つまり面積から逃げていきます。1辺aの立方体では、表面積 ÷ 体積 = 6a² ÷ a³ = 6/aです。1 cmの立方体は1 cm³あたり6 cm²の表面がありますが、6 cmの立方体では1しかありません。大きな動物は体1キログラムあたりの皮膚が少ないので体温を保ちやすく、小さな動物はすぐに熱を失います。同じ計算で、細かくくだいた氷のほうが大きな氷1つより飲み物を早く冷やす理由もわかります。
すべての長さをk倍にすると、面積はkの2乗倍、体積はkの3乗倍になる。
- すべての長さを2倍にして、体積も2倍にする。 体積は3つの長さをかけるので、2 × 2 × 2 = 8倍になります。
- 高さだけ変わったのにk³を使う。 1つの長さが2倍になれば、体積は2倍になるだけです。k²やk³は、すべての長さがいっしょに拡大するときに使います。
- 1:50の模型のペンキの量を50倍する。 ペンキは面積をおおうので、倍率は50² = 2,500です。
- まちがった根で逆算する：面積が4倍だから長さも4倍。 面積の比はk²なので、k = √4 = 2です。体積の比なら、かわりに3乗根をとります。
- 箱のすべての長さを2倍にします。表面積は何倍になりますか？
- 箱のすべての長さを2倍にします。体積は何倍になりますか？
- 長さを3倍にします。体積は何倍になりますか？
- 1辺2 cmの立方体の体積は8 cm³です。1辺4 cmなら体積は？
- 相似な2つの立体：大きいほうの表面積は小さいほうの9倍です。長さの比は…
- では、体積の比は…
- 1:50の縮尺模型。実物の面積は模型の面積の何倍ですか？
- 円柱の高さを2倍にし、半径は変えません。体積は何倍になりますか？
- 1辺3 cmの立方体の表面積 ÷ 体積は？
- すべての長さを半分にします。体積はもとの何分のいくつになりますか？
- 氷の総量が同じとき、飲み物の中で早くとけるのはどちらですか？
- 小さな氷がたくさん
- 大きな氷1つ
- 倍率k：長さ × k、面積 × k²、体積 × k³。
- 長さを2倍に：面積 × 4、体積 × 8。
- すべての長さがいっしょに変わるとき（相似な立体）だけ成り立つ。
- 小さな物ほど、体積あたりの表面が多い。
このコースの出典 (8)
- (checked 2026-10-17; reordered 2026-10-19: curriculum and textbooks first, then reference works and units, history last)
- Curriculum: 교육부 고시 제2022-33호 [별책 8] 수학과 교육과정 (ncic.re.kr/inv/org/download.do?year=2022&seq=10003559&orgType=ogi4, PDF read 2026-10-19: 초등학교 5~6학년군 [6수03-03]~[6수03-08] 직육면체·정육면체·각기둥·각뿔·원기둥·원뿔·구, 원기둥의 전개도, "각뿔과 원뿔의 전개도는 다루지 않는다", 원주율의 근삿값 3.14, [6수03-17]~[6수03-19] 직육면체와 정육면체의 겉넓이, 1cm³·1m³, 부피; 3~4학년군 [4수03-17] 들이 1L·1mL; 중학교 1~3학년군 [9수03-06] 부채꼴, [9수03-07] 다면체와 회전체, [9수03-08] 입체도형의 겉넓이와 부피, 도형의 닮음·닮음비; 오일러 공식은 성취기준에 이름으로 없음)
- Textbook: OpenStax Prealgebra 2e, 9.6 Solve Geometry Applications: Volume and Surface Area (openstax.org/books/prealgebra-2e/pages/9-6-solve-geometry-applications-volume-and-surface-area)
- Reference: Wolfram MathWorld, Polyhedral Formula (mathworld.wolfram.com/PolyhedralFormula.html)
- AMS Feature Column, Euler's Polyhedral Formula (ams.org/publicoutreach/feature-column/fcarc-eulers-formula)
- BIPM SI Brochure and NIST SI Units - Volume (litre and cubic metre)
- History block only: MacTutor, Archimedes biography (On the Sphere and Cylinder, sphere = 2/3 of the circumscribed cylinder, the figure on his tomb, Cicero's search; mathshistory.st-andrews.ac.uk/Biographies/Archimedes/)
- MacTutor, A history of Topology (Euler's 1750 letter to Goldbach with v − e + f = 2; mathshistory.st-andrews.ac.uk/HistTopics/Topology_in_mathematics)
確認日: 2026-10-17