Desarrollos planos y área de la superficie

Un cubo de 4 cm de arista se envuelve con exactamente 96 cm² de cartón, y puedes verlo todo a la vez cuando el cubo se abre en plano.

Lo que ves cuando aplastas una caja de envío

Antes de sacar una caja de cartón con el reciclaje, la mayoría cortamos la cinta y la aplastamos. Mira lo que queda en el suelo. Todas las caras de la caja siguen ahí, unidas a sus vecinas por las aristas que no cortaste. Esa figura plana se llama desarrollo plano. Su área total es el área de la superficie de la caja: la cantidad de cartón que necesitó la fábrica, si no cuentas las solapas pegadas por dentro.

El área de la superficie envuelve un cuerpo, pero sigue siendo un área, así que se mide en unidades cuadradas como cm² o m². El volumen pregunta otra cosa: ¿cuánto espacio hay dentro? Sus unidades son cúbicas, como cm³. Además, las dos no tienen por qué crecer juntas. Una caja de pizza es ancha y delgada, así que tiene un área de la superficie grande y un volumen pequeño, y una caja gruesa puede ser al revés. Por eso este curso pone las dos fórmulas de cada familia de cuerpos una al lado de la otra; se recuerdan mejor en pareja.

Seis cuadrados iguales suman 96 cm²

El cubo es el caso más sencillo. Tiene seis caras cuadradas, todas del mismo tamaño. Si cada arista mide a, una cara mide a × a = a², y el cubo completo necesita 6a² de cartón. El cubo del modelo tiene aristas de 4 cm, así que necesita 6 × 16 = 96 cm². Pulsa Desplegar y cuenta. Cuatro cuadrados rodean los lados en fila, uno va arriba y otro abajo. Nada se superpone. No falta nada. Esas dos comprobaciones son justo lo que convierte una figura plana en un desarrollo plano.

Por qué seis cuadrados en fila no se pliegan en un cubo

Corta otro conjunto de aristas y seguirás obteniendo una sola pieza plana, así que un cubo tiene más de un desarrollo plano. Contados con cuidado, considerando iguales las copias giradas o volteadas, hay 11. Seis cuadrados en una sola fila recta no están entre ellos. Al plegarlo, el primer y el último cuadrado caen en el mismo lado, y queda un tubo con dos extremos abiertos. Para probar una figura, pliégala mentalmente. Cada cuadrado necesita su propio lugar en el cubo, y dos caras que quedan opuestas en el cubo nunca pueden compartir una arista en el desarrollo plano.

Un ortoedro tiene tres pares de rectángulos iguales

La mayoría de las cajas de envío no son cubos. Un prisma rectangular, u ortoedro, tiene largo l, ancho w y altura h. Sus seis caras forman tres pares iguales: la de arriba y la de abajo miden l × w, la de delante y la de atrás miden l × h, y los dos extremos miden w × h. Toma una cara de cada par, súmalas y duplica el total: área de la superficie = 2(lw + lh + wh). Una caja de 6 cm de largo, 4 cm de ancho y 3 cm de alto necesita 2(24 + 18 + 12) = 108 cm². Aquí tienes una caja de envío inventada, de 40 cm × 30 cm × 20 cm. Necesita 2(1200 + 800 + 600) = 5200 cm² de cartón, poco más de medio metro cuadrado. Cambia el modelo al prisma rectangular y ábrelo: los tres pares se ven enseguida.

Las fábricas de envases imprimen desarrollos planos en grandes hojas planas, los recortan con un troquel y los pliegan a máquina. Dos desarrollos planos de la misma caja siempre tienen la misma área total. Sus contornos, sin embargo, son distintos, y uno puede encajar con sus vecinos en la hoja con menos desperdicio que otro. Un diseñador que conoce varios desarrollos planos de una caja simplemente tiene más formas de ahorrar cartón.