Uitslagen en oppervlakte

Om een kubus met ribben van 4 cm past precies 96 cm² karton. Als je hem plat openvouwt, zie je alles tegelijk.

Wat je ziet als je een bezorgdoos platdrukt

Voor een kartonnen doos bij het oud papier gaat, snijden we meestal het plakband door en drukken we hem plat. Bekijk wat op de vloer ligt. Elk vlak is er nog, verbonden met de buren langs de ribben die je niet doorsneed. Die platte vorm heet een uitslag. De totale oppervlakte is de oppervlakte van de doos: de hoeveelheid karton die de fabriek nodig had, zonder de naar binnen gelijmde kleppen.

Oppervlakte omhult een lichaam, maar blijft een oppervlakte, gemeten in vierkante eenheden zoals cm² of m². Inhoud beantwoordt een andere vraag: hoeveel ruimte zit erin? Daarvoor gebruik je kubieke eenheden zoals cm³. Beide hoeven niet samen te groeien. Een pizzadoos is breed en dun, met een grote oppervlakte en kleine inhoud; bij een gedrongen doos kan het andersom zijn. Daarom bekijk je hier voor elke soort lichamen beide formules naast elkaar: als paar onthoud je ze gemakkelijker.

Zes gelijke vierkanten vormen samen 96 cm²

De kubus is het eenvoudigste geval. Hij heeft zes even grote vierkante vlakken. Bij ribbe a heeft één vlak oppervlakte a × a = a², zodat de hele kubus 6a² karton nodig heeft. De kubus heeft ribben van 4 cm en vraagt dus 6 × 16 = 96 cm². Druk op Uitvouwen en tel. Vier vierkanten vormen een rij rondom de zijkanten, één zit boven en één onder. Niets overlapt en niets ontbreekt. Precies die twee controles bepalen of een platte vorm een uitslag is.

Waarom zes vierkanten op een rij geen kubus vormen

Snijd andere ribben door en je krijgt nog steeds één plat geheel: een kubus heeft dus meer uitslagen. Als gedraaide en gespiegelde exemplaren als hetzelfde tellen, zijn het er precies 11. Zes vierkanten in één rechte rij horen daar niet bij. Bij het vouwen komen het eerste en laatste vierkant aan dezelfde kant terecht: er ontstaat een koker met twee open uiteinden. Vouw een vorm in gedachten om hem te testen. Elk vierkant heeft een eigen plek nodig; tegenoverliggende kubusvlakken kunnen in de uitslag nooit een ribbe delen.

Een balk heeft drie paren gelijke rechthoeken

De meeste bezorgdozen zijn geen kubussen. Een balk heeft lengte l, breedte w en hoogte h. De zes vlakken vormen drie gelijke paren: boven en onder l × w, voor en achter l × h, en de uiteinden w × h. Neem van elk paar één vlak, tel op en verdubbel: oppervlakte = 2(lw + lh + wh). Een doos van 6 cm lang, 4 cm breed en 3 cm hoog vraagt 2(24 + 18 + 12) = 108 cm². Een verzonnen pakketdoos van 40 cm × 30 cm × 20 cm vraagt 2(1200 + 800 + 600) = 5200 cm² karton, iets meer dan een halve vierkante meter. Kies Balk en vouw hem open om de drie paren gemakkelijk te herkennen.

Verpakkingsfabrieken drukken uitslagen op grote platte vellen, stansen ze uit en vouwen ze machinaal. Twee uitslagen van dezelfde doos hebben altijd dezelfde totale oppervlakte. Hun omtrekvormen verschillen wel: de ene kan met minder afval naast andere op het vel passen. Wie meerdere uitslagen kent, heeft meer mogelijkheden om karton te besparen.