edubun
Nederlands
English한국어EspañolPortuguêsFrançaisDeutschItalianoNederlandsРусскийBahasa Indonesia日本語
Home›Meetkunde en tekeningen

Driehoeken

Zeven hoofdstukken over driehoeken: indelen naar zijden en hoeken, de hoekensom van 180° en de buitenhoek, welke drie lengtes een driehoek vormen, congruentievoorwaarden en waarom zijde-zijde-hoek niet werkt, gelijkvormigheid en schaal, de stelling van Pythagoras met twee bewijzen en haar omgekeerde, en oppervlakte uit basis en hoogte of drie zijden met de formule van Heron. Versleep de hoekpunten in het trigonometriepracticum en zie de getallen veranderen.

Voortgang

Over deze cursus

Scheur de drie hoeken van een papieren driehoek en leg ze met de punten tegen elkaar. Ze vormen een gestrekte hoek van 180°, welke driehoek je ook nam. Dat is de hoekensom, het eerste feit dat je leert. Het goniometrielab rondt elke hoek af op 0.1°. Daardoor kunnen de drie afgeronde getallen samen 0.1 afwijken, maar de exacte som op de somregel is 180°.

De zeven hoofdstukken behandelen soorten driehoeken, de hoekensom en buitenhoek, welke drie lengtes een driehoek vormen, congruente driehoeken (SSS, SAS, ASA en waarom SSA niet werkt), gelijkvormigheid en schaal, de stelling van Pythagoras met twee bewijzen en het omgekeerde, en oppervlakte met de formule van Heron. Twee figuren zijn gelijkvormig als de ene een vergroting of verkleining van de andere is. Overeenkomstige hoeken zijn dus gelijk en overeenkomstige zijden hebben dezelfde verhouding, de schaalfactor. Op ruitjespapier krijgt een rechthoekige driehoek met rechthoekszijden van 3 en 4 vakjes vierkanten van 9 en 16 op die zijden. Het vierkant op de langste zijde beslaat precies 25.

In het laatste hoofdstuk vind je de oppervlakte op twee manieren. De tweede heeft geen hoogte nodig: bepaal voor zijden a, b en c eerst s, de halve omtrek, en gebruik dan Oppervlakte = √(s(s − a)(s − b)(s − c)). Voor 13, 14 en 15 is s = 42 ÷ 2 = 21. De oppervlakte is √(21 × 8 × 7 × 6) = √7056 = 84. Versleep de hoekpunten in het goniometrielab en zie de getallen veranderen.

Voor je begint

Hoeken optellen, lengtes vergelijken en met verhoudingen werken helpt bij de voorbeelden in deze cursus. Hoeken is een goede voorbereiding op de redeneringen over gestrekte hoeken en evenwijdige lijnen. In de driehoeksimulatie kun je hoekpunten verplaatsen en metingen vergelijken. Maar de lessen vragen ook waarom een regel geldt, niet alleen wat je op het scherm ziet.

Als je klaar bent

Je deelt een driehoek in naar zijden en hoeken, berekent ontbrekende hoeken en test of drie lengtes een driehoek kunnen vormen. Je gebruikt congruentiekenmerken, verklaart waarom SSA niet voldoende is en berekent een hoogte met gelijkvormige driehoeken. Je past de stelling van Pythagoras toe en vindt de oppervlakte uit basis en hoogte of met de formule van Heron.

  1. 1Driehoeken indelen naar zijden en hoekenEen driehoek met zijden van 5, 5 en 8 cm is tegelijk gelijkbenig en stomphoekig. De eerste naam komt van de zijden, de tweede van de grootste hoek, ongeveer 106°.
  2. 2De hoekensom en de buitenhoekScheur de drie hoeken van een papieren driehoek af en leg de punten tegen elkaar. Ze vullen een rechte lijn, 180°, welke driehoek je ook nam.
  3. 3Welke drie lengtes vormen een driehoekStokjes van 3 cm, 4 cm en 8 cm kunnen niet tot een driehoek worden verbonden. De twee korte reiken samen maar 3 + 4 = 7 cm, één centimeter te weinig voor de lange.
  4. 4Congruente driehoeken: SSS, SAS, ASA en waarom SSA niet werktTwee driehoeken kunnen allebei een hoek van 30°, een zijde van 10 en een zijde van 6 hebben en toch verschillen. De derde zijde is bij de ene ongeveer 11.98 en bij de andere ongeveer 5.34.
  5. 5Gelijkvormige driehoeken en schaalEen leerling van 1.6 m heeft een schaduw van 2 m, terwijl de schaduw van de schoolvlaggenmast 15 m is. De mast is 1.6 × 15 ÷ 2 = 12 m hoog, zonder dat iemand erop hoefde te klimmen.
  6. 6De stelling van Pythagoras, twee bewijzen en het omgekeerdeOp ruitjespapier krijgt een rechthoekige driehoek met rechthoekszijden van 3 en 4 hokjes vierkanten van 9 en 16 op die zijden, en het vierkant op de langste zijde bedekt precies 25.
  7. 7Oppervlakte van een driehoek en de formule van HeronEen driehoek met zijden van 13, 14 en 15 m heeft een oppervlakte van precies 84 m², en je kunt dat getal via twee heel verschillende routes bereiken.

Verwante cursussen

  • Hoeken
    Vijf hoofdstukken over hoeken: meten met een gradenboog, de soorten benoemen, de paren die samen 90° en 180° zijn, de acht hoeken waar een lijn twee evenwijdige lijnen snijdt, en de hoekensom van driehoeken en veelhoeken. Het goniometrielab op elke pagina heeft een gradenboog, twee evenwijdige lijnen en een driehoek waarvan je de hoekpunten kunt verslepen.
  • Oppervlakte en inhoud van ruimtelijke lichamen
    Een ontbijtgranendoos, een blik, een ijshoorntje en een bal hebben elk een formule voor hoeveel karton ze omhult en hoeveel ze kunnen bevatten. Vouw elk lichaam in 3D uit, verander de afmetingen met schuifknoppen en bekijk hoe de getallen veranderen.
  • Cirkels
    Zes hoofdstukken over cirkels: onderdelen en middelpunt vinden, pi en omtrek met Archimedes’ veelhoekgrenzen, oppervlakte door herschikte sectoren, booglengte en sectoroppervlakte als delen van 360°, middelpuntshoeken en omtrekshoeken met de hoek in een halve cirkel, en raaklijnen: loodrecht op de straal en vanuit één punt even lang. Versleep een punt over een cirkel, rol een cilinder uit, vouw een kegel open en klik op cirkeldiagramsectoren.
  • Goniometrie
    Zes hoofdstukken over goniometrie in rechthoekige driehoeken en op de eenheidscirkel. Je benoemt de zijden van een rechthoekige driehoek, definieert sinus, cosinus en tangens als verhoudingen, leert de exacte waarden voor 30°, 45° en 60°, berekent driehoeken met één zijde en één hoek, meet onbereikbare hoogten, schakelt over op radialen en de eenheidscirkel en tekent de sinusgolf. In het goniometrielab kun je een rechthoekige driehoek vergroten of verkleinen, hoogten meten en een eenheidscirkel met de bijbehorende grafiek bekijken.
Bronnen van deze cursus (7)
  • Curriculum: 교육부 고시 제2022-33호 [별책 8] 수학과 교육과정 (ncic.re.kr/inv/org/download.do?year=2022&seq=10003559&orgType=ogi4, PDF read 2026-10-19: 초등학교 3~4학년군 [4수03-08] 이등변삼각형·정삼각형, [4수03-09] 직각삼각형·예각삼각형·둔각삼각형, [4수03-25] 삼각형과 사각형의 내각의 크기의 합을 여러 가지 방법으로 추론; 초등학교 5~6학년군 [6수03-01] 합동·대응점·대응변·대응각, [6수03-14] 삼각형의 넓이(높이가 삼각형의 외부에 있는 것도 다룸); 중학교 1~3학년군 [9수03-03] 삼각형의 작도, [9수03-04] 삼각형의 합동 조건, [9수03-05] 삼각형의 내각과 외각, [9수03-09] 이등변삼각형의 성질을 합동 조건으로 정당화하고 증명이라는 용어 도입, [9수03-12]·[9수03-13] 닮음·닮음비·삼각형의 닮음 조건, [9수03-15] 피타고라스 정리를 추측하고 정당화, 역은 직관적으로 이해하고 직각삼각형 판별에 사용; 용어와 기호 대변, 대각, 내각, 외각, 증명, 닮음비, △ABC, ≡, ∽)
  • Textbook: OpenStax, Contemporary Mathematics, 10.3 Triangles (triangle from three noncollinear points; acute, right, obtuse; side a opposite angle A; hypotenuse and legs; angle sum 180° by a parallel line and alternate interior angles; x, x + 17, 3x − 62 gives 45°, 62°, 73°; SSS, SAS, ASA, AAS; similar triangles, scaling factor; tower shadow 180 ft with a 9 ft truck and 15 ft shadow gives 108 ft; Thales and the pyramid: openstax.org/books/contemporary-mathematics/pages/10-3-triangles)
  • OpenStax Prealgebra 2e, 9.3 Use Properties of Angles, Triangles, and the Pythagorean Theorem (a² + b² = c²; Pythagoras around 500 BCE; 13 ft ladder 5 ft from the wall; 10 inch bracket about 7.1 inches; similar triangles: openstax.org/books/prealgebra-2e/pages/9-3-use-properties-of-angles-triangles-and-the-pythagorean-theorem)
  • 9.4 Use Properties of Rectangles, Triangles, and Trapezoids (A = ½bh from half a rectangle; isosceles and equilateral; equilateral perimeter 93 in: .../pages/9-4-use-properties-of-rectangles-triangles-and-trapezoids)
  • OpenStax Precalculus 2e, 8.2 Non-right Triangles: Law of Cosines (Heron’s formula with semi-perimeter s; sides 10, 15, 7 give s = 16 and area about 29.4; Chicago lot 62.4, 43.5, 34.1 m gives about 711.4 m²: openstax.org/books/precalculus-2e/pages/8-2-non-right-triangles-law-of-cosines)
  • History for story blocks only: Euclid’s Elements, D. E. Joyce edition, Clark University (Book I Prop. 20 triangle inequality and Heron’s shortest-path problem; Prop. 26 and its guide on congruence theorems, SSA ambiguity and side-side-right angle; Prop. 32 exterior angle and angle sum, Proclus corollaries; Prop. 47 and its guide on Old Babylonians ca. 1900 to 1600 BCE, Plimpton 322, the Zhou bi hypotenuse diagram, Proclus; Prop. 48 converse; Book VI Prop. 4 equiangular triangles: mathcs.clarku.edu/~djoyce/elements/bookI/propI47.html)
  • MacTutor History of Mathematics, University of St Andrews, Heron of Alexandria (formula proved in Metrica Book I; eclipse of 13 March 62; side of 720 about 26 5/6: mathshistory.st-andrews.ac.uk/Biographies/Heron/) MacTutor, "Euclid of Alexandria" (born about 325 BC, died about 265 BC; dating for the Elements, about 2,300 years ago: mathshistory.st-andrews.ac.uk/Biographies/Euclid/, checked 2026-10-19).

Geraadpleegd: 2026-10-19