Oppervlakte van een driehoek en de formule van Heron

Een driehoek met zijden van 13, 14 en 15 m heeft een oppervlakte van precies 84 m², en je kunt dat getal via twee heel verschillende routes bereiken.

Een perceel waarvan je alleen de drie zijden kent

Dit is het probleem. Een klein driehoekig hoekperceel wordt met gras ingezaaid. De drie randen zijn met een meetlint gemeten: 13 m, 14 m en 15 m. Op het zaadpak staat hoeveel vierkante meter één pak dekt. Hoeveel vierkante meter is het perceel? Je weet dat de oppervlakte van een driehoek de helft van basis maal hoogte is, maar niemand heeft een hoogte gemeten, en met een meetlint vanaf een rand precies onder 90° naar de overstaande hoek lopen is moeilijker dan het klinkt. Probeer de oppervlakte te vinden voordat je verder leest. Eén methode gebruikt alleen dingen uit eerdere hoofdstukken.

Eén route gebruikt Pythagoras. Neem de zijde van 14 m als basis en laat vanuit de overstaande hoek hoogte h vallen. Die verdeelt de basis in x en 14 − x en maakt twee rechthoekige driehoeken. Links geldt h² = 13² − x². Rechts geldt h² = 15² − (14 − x)². Stel ze gelijk: 169 − x² = 225 − 196 + 28x − x², dus 28x = 140 en x = 5. Dan is h² = 169 − 25 = 144 en h = 12. De oppervlakte is 14 × 12 ÷ 2 = 84 m². De twee rechthoekige driehoeken hebben zijden 5, 12, 13 en 9, 12, 15, allemaal gehele getallen.

Waarom de helft van basis maal hoogte

OpenStax Prealgebra begint met een rechthoek met basis b, hoogte h en oppervlakte b × h. Een diagonale snede geeft twee identieke driehoeken, elk met de helft van bh als oppervlakte. Daarmee is het voor rechthoekige driehoeken bewezen. Teken voor een andere driehoek een rechthoek eromheen met dezelfde basis en hoogte. De driehoek vult de helft: de twee overgebleven stukken zijn kopieën van de twee rechthoekige driehoeken waaruit hij zelf bestaat. In beide gevallen geldt A = ½ × b × h. Je meet de hoogte loodrecht op de gekozen basis, vanaf de basislijn naar het overstaande hoekpunt. Elke zijde kan basis zijn, zolang je de bijbehorende hoogte gebruikt.

Bij een stomphoekige driehoek kan de hoogte buiten de driehoek vallen, zoals rechts in de figuur. Dat is geen fout. Verleng de basislijn en laat vanuit het overstaande hoekpunt een loodlijn op dat verlengde vallen. Gebruik die lengte als h. De formule blijft gelden, want de driehoek is het verschil tussen een grote en een kleinere rechthoekige driehoek met dezelfde hoogte.

Eén gevolg is nuttig om te kennen. Driehoeken met dezelfde basis en hoogte hebben dezelfde oppervlakte, hoe schuin ze ook zijn. Schuif het bovenste hoekpunt langs een lijn evenwijdig aan de basis en de oppervlakte verandert niet. Euclides gebruikt dit in zijn bewijs van Pythagoras: een parallellogram is tweemaal een driehoek op dezelfde basis tussen dezelfde evenwijdige lijnen.

Voor Heron zijn alleen de drie zijden nodig

De tweede route heeft helemaal geen hoogte nodig. OpenStax Precalculus geeft de formule van Heron voor een driehoek met zijden a, b en c. Zoek eerst s, de halve omtrek: s = (a + b + c) ÷ 2. Dan is de oppervlakte = √(s(s − a)(s − b)(s − c)). Voor 13, 14 en 15 is s = 42 ÷ 2 = 21 en de oppervlakte is √(21 × 8 × 7 × 6) = √7056 = 84. Hetzelfde antwoord, zonder hoogte. Voor het voorbeeld uit het boek zelf, zijden 10, 15 en 7, is s = 16 en de oppervlakte √(16 × 6 × 1 × 9) = √864, ongeveer 29.4 vierkante eenheden.

Je kunt elke formule snel testen met een bekend geval. Bij de rechthoekige driehoek met zijden 3, 4 en 5 is s = 6 en √(6 × 3 × 2 × 1) = √36 = 6, precies 3 × 4 ÷ 2. Bij 5, 5 en 8 is s = 9 en √(9 × 4 × 4 × 1) = √144 = 12. De hoogte op de zijde van 8 is 3, want 3² + 4² = 5², en 8 × 3 ÷ 2 = 12. Kijk ook naar zijden die niet aan de driehoeksongelijkheid voldoen, zoals 3, 4 en 7. Dan is s = 7, één factor s − c is 0 en de oppervlakte is 0. Dat klopt met hoofdstuk 3.