삼각형의 넓이와 헤론의 공식

세 변이 13 m, 14 m, 15 m인 삼각형의 넓이는 정확히 84 m²이고, 이 값에는 전혀 다른 두 길로 닿을 수 있습니다.

세 변의 길이만 아는 땅

문제부터 봅시다. 길모퉁이의 작은 삼각형 땅에 잔디 씨를 뿌리려고 합니다. 줄자로 잰 세 변은 13 m, 14 m, 15 m입니다. 씨앗 봉지에는 한 봉지로 몇 제곱미터를 덮을 수 있는지 적혀 있습니다. 이 땅의 넓이는 몇 제곱미터일까요? 삼각형의 넓이가 밑변과 높이를 곱해 2로 나눈 것이라는 건 알지만, 높이를 잰 사람은 없습니다. 한 변에서 맞은편 꼭짓점까지 정확히 90°로 줄자를 뻗는 것도 생각보다 어렵습니다. 읽어 나가기 전에 넓이를 구해 보세요. 앞 단원들에서 배운 것만으로 구하는 방법이 있습니다.

첫째 길은 피타고라스 정리를 거칩니다. 14 m인 변을 밑변으로 잡고, 맞은편 꼭짓점에서 밑변에 수선을 내려 높이를 h라고 합시다. 수선의 발이 밑변을 x와 14 − x로 나누고, 직각삼각형 두 개가 생깁니다. 왼쪽 삼각형에서 h² = 13² − x², 오른쪽 삼각형에서 h² = 15² − (14 − x)²입니다. 두 식을 같다고 놓으면 169 − x² = 225 − 196 + 28x − x²이므로 28x = 140, x = 5입니다. 그러면 h² = 169 − 25 = 144, h = 12입니다. 넓이는 14 × 12 ÷ 2 = 84 m²입니다. 두 직각삼각형은 5, 12, 13과 9, 12, 15로, 세 변이 모두 자연수입니다.

왼쪽은 13-14-15 삼각형으로, 밑변 14에 대한 높이 12가 밑변을 5와 9로 나눕니다. 오른쪽은 둔각삼각형으로, 높이 h가 밑변 b를 늘인 선 위, 삼각형 바깥에 떨어집니다.

왜 밑변 × 높이 ÷ 2일까

직사각형 하나에서 시작합니다. 가로 b, 세로 h인 직사각형의 넓이는 b × h이고, 대각선을 따라 자르면 똑같은 직각삼각형 두 개가 생기므로 하나의 넓이는 b × h의 절반입니다. 직각삼각형이 아닌 삼각형은 같은 밑변과 높이로 직사각형을 둘러 그려 봅니다. 높이를 그으면 삼각형이 직각삼각형 두 개로 나뉘고, 직사각형에서 삼각형을 빼고 남는 두 조각이 바로 그 두 직각삼각형과 똑같습니다. 그러니 삼각형은 직사각형의 절반입니다. 어느 쪽이든 넓이 = (밑변) × (높이) ÷ 2입니다. 높이는 언제나 고른 밑변에 수직으로, 밑변이 놓인 직선에서 맞은편 꼭짓점까지 잽니다. 그 변에 맞는 높이를 쓰기만 하면 어느 변이든 밑변이 될 수 있습니다.

둔각삼각형에서는 그림 오른쪽처럼 높이가 삼각형 바깥에 떨어질 수 있습니다. 잘못 그린 것이 아닙니다. 밑변을 연장한 직선을 긋고, 맞은편 꼭짓점에서 그 직선에 수선을 내려 그 길이를 높이로 씁니다. 이 삼각형은 높이가 같은 큰 직각삼각형에서 작은 직각삼각형을 뺀 모양이라서 공식이 그대로 맞습니다.

여기서 나오는 사실 하나를 알아 두면 좋습니다. 밑변과 높이가 같은 삼각형은 아무리 비스듬해도 넓이가 같습니다. 꼭짓점을 밑변과 평행한 직선을 따라 밀어도 넓이는 변하지 않습니다. 유클리드는 피타고라스 정리를 증명하면서 이 생각을 씁니다. 밑변이 같고 같은 평행선 사이에 있는 평행사변형의 넓이는 삼각형의 두 배라는 명제입니다.

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끌어서 돌리고, 휠이나 두 손가락으로 확대하세요.

빗변이 6인 직각삼각형입니다. 직각을 낀 두 변이 밑변과 높이이므로 넓이는 (이웃변) × (대변) ÷ 2입니다. 45°에서는 약 4.243 × 4.243 ÷ 2 = 9입니다. 빗변은 그대로 두고 각을 45°에서 멀어지게 한 뒤 넓이를 다시 계산해 보세요. 더 작아집니다.

헤론의 공식은 세 변만으로 넓이를 줍니다

둘째 길은 높이가 전혀 필요 없습니다. 세 변이 a, b, c인 삼각형에서 먼저 둘레의 절반 s = (a + b + c) ÷ 2를 구합니다. 그러면 넓이 = √(s(s − a)(s − b)(s − c))입니다. 이것이 헤론의 공식입니다. 13, 14, 15라면 s = 42 ÷ 2 = 21이고, 넓이는 √(21 × 8 × 7 × 6) = √7056 = 84입니다. 높이 없이 같은 답이 나옵니다. OpenStax 교과서의 예인 세 변 10, 15, 7이라면 s = 16이고 넓이는 √(16 × 6 × 1 × 9) = √864, 약 29.4입니다.

공식을 믿기 전에 답을 이미 아는 경우에 넣어 보는 것이 좋습니다. 3, 4, 5 직각삼각형이면 s = 6이고 √(6 × 3 × 2 × 1) = √36 = 6으로, 3 × 4 ÷ 2와 정확히 같습니다. 5, 5, 8이면 s = 9이고 √(9 × 4 × 4 × 1) = √144 = 12입니다. 길이 8인 변에 대한 높이는 3² + 4² = 5²이니 3이고, 8 × 3 ÷ 2 = 12입니다. 삼각부등식을 어기는 세 변을 넣으면 어떻게 될까요? 3, 4, 7이면 s = 7이고 s − c가 0이 되어 넓이가 0입니다. 3단원의 결론과 맞아떨어집니다.

배경알렉산드리아의 헤론은 측량, 기계, 거울에 관한 책을 남겼습니다. 세인트앤드루스 대학교 MacTutor의 전기는 그의 수학에서 가장 잘 알려진 것이 바로 이 공식이고, 『측량술(Metrica)』 제1권에서 증명했다고 적습니다. 헤론이 언제 살았는지는 오랫동안 몇 세기씩 차이 나는 주장만 있었습니다. 그러다 1938년 역사학자 오토 노이게바우어가 헤론이 언급한 일식을 서기 62년 3월 13일 알렉산드리아에서 본 일식과 맞추어 냈습니다. 『측량술』에는 헤론이 손으로 제곱근을 구하는 방법도 나옵니다. 720의 제곱근은 자연수가 아니므로 720을 27로 나누고, 27을 더해 반으로 나누어 26과 6분의 5를 얻습니다. 이 수를 제곱하면 720과 36분의 1입니다.

밑변 12 cm, 높이 5 cm인 삼각형의 넓이는?
밑변 11, 높이 8인 삼각형의 넓이는?
직각을 낀 두 변이 6, 9인 직각삼각형의 넓이는?
넓이가 24 cm², 밑변이 8 cm인 삼각형의 높이는?
세 변이 13, 14, 15인 삼각형의 넓이를 헤론의 공식으로 구하면?
세 변이 10, 15, 7인 삼각형의 넓이를 헤론의 공식으로 구해 소수 첫째 자리까지 쓰면?
세 변이 62.4 m, 43.5 m, 34.1 m인 땅에서 s(둘레의 절반)는?
한 변이 6인 정삼각형의 넓이를 소수 둘째 자리까지 구하면?
세 변이 5, 5, 8인 이등변삼각형의 넓이는?
두 삼각형이 밑변 AB를 함께 쓰고, 나머지 꼭짓점이 AB와 평행한 한 직선 위에 있습니다. 두 넓이는?
- 같다
- 합동이 아니면 다르다
- 둘 다 직각삼각형일 때만 같다
- 비교할 수 없다
빗변을 6으로 고정한 직각삼각형은 45°일 때 넓이가 가장 큽니다. 그 넓이는?

자주 하는 실수

「둔각삼각형의 높이는 삼각형 안에 있어야 하니 비스듬한 변을 높이로 쓴다.」 높이는 밑변이 놓인 직선에서 맞은편 꼭짓점까지의 수직 거리입니다. 둔각삼각형에서는 그 수선이 밑변을 늘인 선 위, 삼각형 바깥에 떨어질 수 있습니다. 비스듬한 변은 높이가 아닙니다.
「삼각형의 넓이 = 밑변 × 높이」 밑변 × 높이는 삼각형을 둘러싼 직사각형의 넓이입니다. 삼각형은 그 절반이므로 2로 나눠야 합니다. 밑변 14, 높이 12이면 168이 아니라 84입니다.
「헤론의 공식에서 s는 둘레다.」 s는 둘레의 절반입니다. 13, 14, 15 삼각형에서 s = 42를 넣으면 √(42 × 29 × 28 × 27)처럼 터무니없이 큰 값이 나옵니다. s = 21이어야 84가 나옵니다.

선생님 메모2022 개정 교육과정에서 삼각형의 넓이는 초등학교 5~6학년군 [6수03-14]에서 평행사변형, 사다리꼴, 마름모와 함께 「다양하게 추론하고」 구하도록 되어 있습니다. 적용 시 고려 사항에는 「삼각형의 넓이를 구할 때는 높이가 삼각형의 외부에 있는 것도 다룬다」와, 넓이가 1 cm²인 정사각형의 몇 배인지 구하는 것임을 이해하게 하라는 내용이 있습니다. 헤론의 공식은 교육과정에 없으니, 제곱근과 피타고라스 정리를 아는 학생을 위한 심화로 다루는 것이 좋습니다. 13, 14, 15 문제는 다리 역할을 잘합니다. 학생이 가진 도구로 먼저 풀게 한 뒤, 헤론의 공식이 같은 84에 한 줄로 닿는 것을 보여 주세요.

핵심 정리

넓이 = (밑변) × (높이) ÷ 2이고, 높이는 고른 밑변에 수직입니다.
둔각삼각형에서는 높이가 밑변을 늘인 선 위, 삼각형 바깥에 떨어질 수 있습니다.
밑변과 높이가 같으면 넓이도 같습니다.
헤론의 공식: s = (a + b + c) ÷ 2, 넓이 = √(s(s − a)(s − b)(s − c)).

이 과정의 출처 (7)

Curriculum: 교육부 고시 제2022-33호 [별책 8] 수학과 교육과정 (ncic.re.kr/inv/org/download.do?year=2022&seq=10003559&orgType=ogi4, PDF read 2026-10-19: 초등학교 3~4학년군 [4수03-08] 이등변삼각형·정삼각형, [4수03-09] 직각삼각형·예각삼각형·둔각삼각형, [4수03-25] 삼각형과 사각형의 내각의 크기의 합을 여러 가지 방법으로 추론; 초등학교 5~6학년군 [6수03-01] 합동·대응점·대응변·대응각, [6수03-14] 삼각형의 넓이(높이가 삼각형의 외부에 있는 것도 다룸); 중학교 1~3학년군 [9수03-03] 삼각형의 작도, [9수03-04] 삼각형의 합동 조건, [9수03-05] 삼각형의 내각과 외각, [9수03-09] 이등변삼각형의 성질을 합동 조건으로 정당화하고 증명이라는 용어 도입, [9수03-12]·[9수03-13] 닮음·닮음비·삼각형의 닮음 조건, [9수03-15] 피타고라스 정리를 추측하고 정당화, 역은 직관적으로 이해하고 직각삼각형 판별에 사용; 용어와 기호 대변, 대각, 내각, 외각, 증명, 닮음비, △ABC, ≡, ∽)
Textbook: OpenStax, Contemporary Mathematics, 10.3 Triangles (triangle from three noncollinear points; acute, right, obtuse; side a opposite angle A; hypotenuse and legs; angle sum 180° by a parallel line and alternate interior angles; x, x + 17, 3x − 62 gives 45°, 62°, 73°; SSS, SAS, ASA, AAS; similar triangles, scaling factor; tower shadow 180 ft with a 9 ft truck and 15 ft shadow gives 108 ft; Thales and the pyramid: openstax.org/books/contemporary-mathematics/pages/10-3-triangles)
OpenStax Prealgebra 2e, 9.3 Use Properties of Angles, Triangles, and the Pythagorean Theorem (a² + b² = c²; Pythagoras around 500 BCE; 13 ft ladder 5 ft from the wall; 10 inch bracket about 7.1 inches; similar triangles: openstax.org/books/prealgebra-2e/pages/9-3-use-properties-of-angles-triangles-and-the-pythagorean-theorem)
9.4 Use Properties of Rectangles, Triangles, and Trapezoids (A = ½bh from half a rectangle; isosceles and equilateral; equilateral perimeter 93 in: .../pages/9-4-use-properties-of-rectangles-triangles-and-trapezoids)
OpenStax Precalculus 2e, 8.2 Non-right Triangles: Law of Cosines (Heron’s formula with semi-perimeter s; sides 10, 15, 7 give s = 16 and area about 29.4; Chicago lot 62.4, 43.5, 34.1 m gives about 711.4 m²: openstax.org/books/precalculus-2e/pages/8-2-non-right-triangles-law-of-cosines)
History for story blocks only: Euclid’s Elements, D. E. Joyce edition, Clark University (Book I Prop. 20 triangle inequality and Heron’s shortest-path problem; Prop. 26 and its guide on congruence theorems, SSA ambiguity and side-side-right angle; Prop. 32 exterior angle and angle sum, Proclus corollaries; Prop. 47 and its guide on Old Babylonians ca. 1900 to 1600 BCE, Plimpton 322, the Zhou bi hypotenuse diagram, Proclus; Prop. 48 converse; Book VI Prop. 4 equiangular triangles: mathcs.clarku.edu/~djoyce/elements/bookI/propI47.html)
MacTutor History of Mathematics, University of St Andrews, Heron of Alexandria (formula proved in Metrica Book I; eclipse of 13 March 62; side of 720 about 26 5/6: mathshistory.st-andrews.ac.uk/Biographies/Heron/) MacTutor, "Euclid of Alexandria" (born about 325 BC, died about 265 BC; dating for the Elements, about 2,300 years ago: mathshistory.st-andrews.ac.uk/Biographies/Euclid/, checked 2026-10-19).

확인한 날: 2026-10-19