Aire du triangle et formule de Héron

Un triangle de côtés 13, 14 et 15 m a une aire d'exactement 84 m², que tu peux obtenir par deux voies très différentes.

Un terrain connu seulement par ses trois côtés

Un petit terrain triangulaire en coin doit être semé de gazon. Ses bords mesurés au mètre font 13 m, 14 m et 15 m. Le paquet de graines indique combien de mètres carrés il couvre. Quelle est l'aire du terrain ? Tu sais qu'elle vaut la moitié de base fois hauteur, mais personne n'a mesuré la hauteur, et tendre un mètre d'un bord au sommet opposé à exactement 90° est plus difficile qu'il n'y paraît. Essaie avant de poursuivre. Une méthode utilise seulement les unités précédentes.

Une première voie passe par le théorème de Pythagore. Prends le côté de 14 m comme base et trace la hauteur h issue du sommet opposé. Elle partage la base en deux parties, disons x et 14 − x, et forme deux triangles rectangles. Dans celui de gauche, h² = 13² − x². Dans celui de droite, h² = 15² − (14 − x)². Égalise-les : 169 − x² = 225 − 196 + 28x − x², donc 28x = 140 et x = 5. Alors h² = 169 − 25 = 144 et h = 12. L'aire est 14 × 12 ÷ 2 = 84 m². Les deux triangles rectangles sont 5, 12, 13 et 9, 12, 15, tous deux à côtés entiers.

Pourquoi la moitié de base fois hauteur

Prealgebra d'OpenStax part d'un rectangle de base b, hauteur h et aire b × h, coupé par une diagonale en deux triangles identiques d'aire moitié de bh. Cela règle les triangles rectangles. Pour un autre triangle, dessine autour le rectangle de même base et hauteur. Le triangle en occupe la moitié, car les deux morceaux restants sont des copies des deux triangles rectangles qui le composent. Dans tous les cas, A = ½ × b × h. La hauteur se mesure perpendiculairement à la base choisie, de sa droite au sommet opposé ; chaque côté peut servir de base avec sa hauteur correspondante.

Dans un obtusangle, la hauteur peut être extérieure, comme à droite du dessin. Ce n'est pas une erreur. Prolonge la droite de base, abaisse la perpendiculaire du sommet opposé et utilise cette longueur pour h. La formule reste valable : le triangle est la différence entre un grand triangle rectangle et un petit triangle rectangle de même hauteur.

Une conséquence mérite d'être connue. Des triangles de même base et de même hauteur ont la même aire, quelle que soit leur inclinaison. Fais glisser le sommet du haut le long d'une droite parallèle à la base et l'aire ne change pas. Euclide utilise cette idée dans sa démonstration du théorème de Pythagore, où un parallélogramme est le double d'un triangle de même base compris entre les mêmes parallèles.

La formule de Héron ne demande que les trois côtés

La seconde voie ne demande aucune hauteur. Precalculus d'OpenStax donne la formule de Héron pour les côtés a, b, c. Trouve d'abord s, la moitié du périmètre : s = (a + b + c) ÷ 2. Puis Aire = √(s(s − a)(s − b)(s − c)). Pour 13, 14, 15, s = 42 ÷ 2 = 21 et l'aire vaut √(21 × 8 × 7 × 6) = √7056 = 84. Même résultat, sans hauteur. Dans l'exemple du livre, côtés 10, 15, 7, s = 16 et l'aire est √(16 × 6 × 1 × 9) = √864, environ 29.4 unités carrées.

Pour tester une formule, applique-la à un cas connu. Dans le triangle rectangle 3, 4, 5, s = 6 et √(6 × 3 × 2 × 1) = √36 = 6, exactement 3 × 4 ÷ 2. Pour 5, 5, 8, s = 9 et √(9 × 4 × 4 × 1) = √144 = 12 ; la hauteur sur le côté 8 vaut 3, car 3² + 4² = 5², et 8 × 3 ÷ 2 = 12. Avec des côtés qui ne respectent pas l'inégalité triangulaire, comme 3, 4, 7, s = 7, un facteur s − c vaut 0 et l'aire aussi. Cela concorde avec l'unité 3.