Le théorème de Pythagore, deux démonstrations et la réciproque
Sur papier quadrillé, un triangle rectangle de côtés de l'angle droit de 3 et 4 carreaux porte des carrés de 9 et 16 sur ces côtés ; celui de l'hypoténuse couvre exactement 25.
Compte d'abord les carrés
Sur papier quadrillé, dessine un triangle rectangle dont les petits côtés font 3 carreaux horizontalement et 4 verticalement. Sur chaque côté, dessine un carré extérieur au triangle. Celui du côté de 3 contient 9 petits carrés, celui du côté de 4 en contient 16. Le carré du grand côté oblique est incliné, donc difficile à compter ; mesure son côté avec une règle sur le quadrillage : tu trouves 5, soit 25 carrés. Et 9 + 16 = 25. Essaie avec 6 et 8 : les carrés contiennent 36 et 64, soit 100 ensemble, et le grand côté mesure 10.
Dans un triangle rectangle, le côté opposé à l'angle droit est l'hypoténuse. C'est toujours le plus long, car il est opposé au plus grand angle. Les deux autres sont les côtés de l'angle droit. Le motif observé est le théorème de Pythagore : le carré de l'hypoténuse égale la somme des carrés des deux autres côtés, a² + b² = c², où c est l'hypoténuse. Prealgebra d'OpenStax donne exactement cette forme. Élever au carré n'exige pas de carrés dessinés : tu peux appliquer la formule aux seules longueurs.
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Une démonstration à découper
Compter fonctionne pour 3 et 4, mais il faut démontrer pour tout triangle rectangle. Découpe quatre copies d'un triangle de côtés de l'angle droit a, b et d'hypoténuse c. Dispose-les de deux façons dans un carré de côté a + b. D'abord, un triangle dans chaque coin, les hypoténuses entourant un carré incliné d'aire c². Ensuite, regroupe-les en deux rectangles a par b placés dans des coins opposés ; l'espace libre est un carré de côté a et un de côté b. Le grand carré et les quatre triangles étant identiques dans les deux dessins, l'espace libre est égal : c² = a² + b².
La même figure donne une démonstration algébrique. Le grand carré a pour aire (a + b)² = a² + 2ab + b². À gauche, elle vaut le carré incliné plus quatre triangles : c² + 4 × (ab ÷ 2) = c² + 2ab. Égalise et simplifie 2ab : il reste a² + b² = c².
- vers 1900 à 1600 avant notre ère: Les scribes babyloniens utilisent la relation ; Plimpton 322 liste des triplets pythagoriciens.
- VIe siècle avant notre ère: Thalès mesure une pyramide par son ombre (unité 5).
- vers 500 avant notre ère: Pythagore vit dans le monde grec.
- il y a environ 2400 ans: Euclide démontre le théorème (prop. 47) et sa réciproque (prop. 48).
- IIIe siècle de notre ère: Schéma de l'hypoténuse de Zhao Shuang dans le Zhou bi suan jing.
La réciproque permet de reconnaître un angle droit
La proposition 48 fait fonctionner le théorème à l'envers. Si le carré construit sur un côté d'un triangle égale la somme des carrés construits sur les deux autres, l'angle compris entre ces deux côtés est un angle droit. Cette réciproque est ce que les maçons utilisent avec un mètre ruban : marque 3 m le long d'une ligne de mur et 4 m le long de l'autre, et si les marques sont exactement à 5 m l'une de l'autre, le coin est d'équerre. Les côtés 5, 12 et 13 fonctionnent de la même façon, puisque 25 + 144 = 169.
La comparaison classe aussi les triangles non rectangles. Soit c le plus grand côté. Si c² est inférieur à a² + b², l'angle opposé à c est inférieur à un angle droit et le triangle est acutangle. S'il est supérieur, il est obtusangle. Côtés 6, 7, 9 : 81 est inférieur à 36 + 49 = 85, donc acutangle. Côtés 5, 6, 9 : 81 est supérieur à 25 + 36 = 61, donc obtusangle.
Échelles, banderoles et raccourcis
On cherche surtout un côté à partir des deux autres. OpenStax place une échelle de 13 ft à 5 ft d'un mur : elle atteint √(13² − 5²) = √144 = 12 ft de haut. Une échelle de 20 ft à 6 ft atteint √(400 − 36) = √364, environ 19.1 ft. Imagine aussi une cour de 80 m par 60 m : longer deux bords fait 140 m ; la diagonale mesure √(6400 + 3600) = √10000 = 100 m, soit 40 m économisés.
- Les côtés de l'angle droit font 3 et 4. Trouve l'hypoténuse.
- Les côtés de l'angle droit font 5 et 12. Trouve l'hypoténuse.
- Une échelle de 13 ft est à 5 ft d'un mur. Quelle hauteur atteint-elle ?
- Une échelle de 20 ft est à 6 ft d'une maison. Quelle hauteur atteint-elle, à une décimale ?
- Une porte de garage fait 12 ft de haut et 16 ft de large. Quelle longueur fait une banderole tendue entre deux coins opposés ?
- Une cour fait 80 m par 60 m. Combien de mètres économises-tu en prenant la diagonale plutôt que deux bords ?
- Une barre de renfort de 10 pouces traverse un angle droit, ses extrémités à égale distance du coin. Quelle est cette distance, à une décimale ?
- Côtés 7, 24 et 25. Le triangle est :
- rectangle
- acutangle
- obtusangle
- impossible
- Côtés 6, 7 et 9. Le triangle est :
- acutangle
- rectangle
- obtusangle
- impossible
- Côtés 5, 6 et 9. Le triangle est :
- obtusangle
- acutangle
- rectangle
- impossible
- Dans le schéma Zhou bi, quatre rectangles de 3 par 4 entourent un carré de 1 par 1 et forment un carré de 7 par 7. Quelle est l'aire du carré incliné intérieur ?
- Pour vérifier un coin par la règle 3, 4, 5, tu marques 6 m et 8 m sur les deux lignes. Quelle distance entre les marques indique un angle droit ?
- « Les petits côtés font 6 et 8, donc l'hypoténuse vaut 6 + 8 = 14. » Additionne les carrés, pas les longueurs : 36 + 64 = 100, donc l'hypoténuse vaut 10. L'inégalité triangulaire impose de toute façon moins de 14.
- « Une échelle de 13, à 5 du mur : √(13² + 5²) ≈ 13.9 de haut. » L'échelle est l'hypoténuse, donc soustrais : √(169 − 25) = 12. Un côté de l'angle droit ne peut jamais dépasser l'hypoténuse.
- « 5² + 6² ≠ 9², donc le théorème ne fonctionne pas ici. » Le théorème concerne seulement les triangles rectangles. Pour 5, 6, 9, l'inégalité 81 > 61 indique un obtusangle : c'est l'utilisation de la réciproque.
- Triangle rectangle de côtés de l'angle droit a, b et d'hypoténuse c : a² + b² = c².
- Démonstration : quatre copies dans un carré de côté a + b, en deux dispositions.
- Réciproque : si c² = a² + b², l'angle opposé à c vaut 90°.
- c² < a² + b² indique acutangle ; c² > a² + b² indique obtusangle (c est le plus grand côté).
Sources de ce cours (7)
- Curriculum: 교육부 고시 제2022-33호 [별책 8] 수학과 교육과정 (ncic.re.kr/inv/org/download.do?year=2022&seq=10003559&orgType=ogi4, PDF read 2026-10-19: 초등학교 3~4학년군 [4수03-08] 이등변삼각형·정삼각형, [4수03-09] 직각삼각형·예각삼각형·둔각삼각형, [4수03-25] 삼각형과 사각형의 내각의 크기의 합을 여러 가지 방법으로 추론; 초등학교 5~6학년군 [6수03-01] 합동·대응점·대응변·대응각, [6수03-14] 삼각형의 넓이(높이가 삼각형의 외부에 있는 것도 다룸); 중학교 1~3학년군 [9수03-03] 삼각형의 작도, [9수03-04] 삼각형의 합동 조건, [9수03-05] 삼각형의 내각과 외각, [9수03-09] 이등변삼각형의 성질을 합동 조건으로 정당화하고 증명이라는 용어 도입, [9수03-12]·[9수03-13] 닮음·닮음비·삼각형의 닮음 조건, [9수03-15] 피타고라스 정리를 추측하고 정당화, 역은 직관적으로 이해하고 직각삼각형 판별에 사용; 용어와 기호 대변, 대각, 내각, 외각, 증명, 닮음비, △ABC, ≡, ∽)
- Textbook: OpenStax, Contemporary Mathematics, 10.3 Triangles (triangle from three noncollinear points; acute, right, obtuse; side a opposite angle A; hypotenuse and legs; angle sum 180° by a parallel line and alternate interior angles; x, x + 17, 3x − 62 gives 45°, 62°, 73°; SSS, SAS, ASA, AAS; similar triangles, scaling factor; tower shadow 180 ft with a 9 ft truck and 15 ft shadow gives 108 ft; Thales and the pyramid: openstax.org/books/contemporary-mathematics/pages/10-3-triangles)
- OpenStax Prealgebra 2e, 9.3 Use Properties of Angles, Triangles, and the Pythagorean Theorem (a² + b² = c²; Pythagoras around 500 BCE; 13 ft ladder 5 ft from the wall; 10 inch bracket about 7.1 inches; similar triangles: openstax.org/books/prealgebra-2e/pages/9-3-use-properties-of-angles-triangles-and-the-pythagorean-theorem)
- 9.4 Use Properties of Rectangles, Triangles, and Trapezoids (A = ½bh from half a rectangle; isosceles and equilateral; equilateral perimeter 93 in: .../pages/9-4-use-properties-of-rectangles-triangles-and-trapezoids)
- OpenStax Precalculus 2e, 8.2 Non-right Triangles: Law of Cosines (Heron’s formula with semi-perimeter s; sides 10, 15, 7 give s = 16 and area about 29.4; Chicago lot 62.4, 43.5, 34.1 m gives about 711.4 m²: openstax.org/books/precalculus-2e/pages/8-2-non-right-triangles-law-of-cosines)
- History for story blocks only: Euclid’s Elements, D. E. Joyce edition, Clark University (Book I Prop. 20 triangle inequality and Heron’s shortest-path problem; Prop. 26 and its guide on congruence theorems, SSA ambiguity and side-side-right angle; Prop. 32 exterior angle and angle sum, Proclus corollaries; Prop. 47 and its guide on Old Babylonians ca. 1900 to 1600 BCE, Plimpton 322, the Zhou bi hypotenuse diagram, Proclus; Prop. 48 converse; Book VI Prop. 4 equiangular triangles: mathcs.clarku.edu/~djoyce/elements/bookI/propI47.html)
- MacTutor History of Mathematics, University of St Andrews, Heron of Alexandria (formula proved in Metrica Book I; eclipse of 13 March 62; side of 720 about 26 5/6: mathshistory.st-andrews.ac.uk/Biographies/Heron/) MacTutor, "Euclid of Alexandria" (born about 325 BC, died about 265 BC; dating for the Elements, about 2,300 years ago: mathshistory.st-andrews.ac.uk/Biographies/Euclid/, checked 2026-10-19).
Consulté le: 2026-10-19