O teorema de Pitágoras, duas demonstrações e a recíproca

No papel quadriculado, um triângulo retângulo com catetos de 3 e 4 quadradinhos tem quadrados de 9 e 16 sobre os catetos; o quadrado sobre o maior lado cobre exatamente 25.

Conte os quadrados primeiro

Num papel quadriculado, desenhe um triângulo retângulo com os lados curtos percorrendo 3 quadradinhos na horizontal e 4 na vertical. Sobre cada lado, desenhe um quadrado para fora do triângulo. O do lado de 3 contém 9 quadradinhos, e o do lado de 4 contém 16. O quadrado do lado longo e inclinado está girado, o que dificulta contar; mas meça seu lado com uma régua na malha e obtenha 5, o que dá 25 quadradinhos. E 9 + 16 = 25. Teste catetos de 6 e 8: os quadrados contêm 36 e 64, juntos 100, e o lado longo mede 10.

Num triângulo retângulo, o lado oposto ao ângulo reto é a hipotenusa. É sempre o maior porque fica oposto ao maior ângulo. Os lados que formam o ângulo reto são os catetos. O padrão contado é o teorema de Pitágoras: em qualquer triângulo retângulo, o quadrado da hipotenusa é igual à soma dos quadrados dos catetos, a² + b² = c², com c como hipotenusa. O Prealgebra da OpenStax apresenta exatamente essa forma. Elevar ao quadrado não exige quadrados no desenho: você pode usar a fórmula só com os comprimentos.

Uma demonstração para recortar em papel

Contar quadrados funciona para 3 e 4, mas uma demonstração deve valer para qualquer triângulo retângulo. Recorte quatro cópias de um com catetos a e b e hipotenusa c. Organize-as de duas formas num quadrado de lado a + b. Primeiro, ponha uma em cada canto, com as hipotenusas cercando um quadrado inclinado no centro, de área c². Depois, forme dois retângulos de a por b com os triângulos e coloque-os em cantos opostos; sobram um quadrado de lado a e outro de lado b. O quadrado grande e os quatro triângulos são os mesmos nas duas figuras, então o espaço livre também é igual: c² = a² + b².

A mesma figura permite uma demonstração algébrica. O quadrado grande tem área (a + b)² = a² + 2ab + b². À esquerda, ela é o quadrado inclinado mais quatro triângulos: c² + 4 × (ab ÷ 2) = c² + 2ab. Iguale as expressões e cancele 2ab, restando a² + b² = c².

A recíproca permite identificar um ângulo reto

A proposição 48 percorre o teorema no sentido contrário. Se o quadrado de um lado de um triângulo é igual à soma dos quadrados dos outros dois, o ângulo entre esses dois lados é reto. Os construtores usam essa recíproca com uma trena: marque 3 m ao longo de uma linha de parede e 4 m ao longo da outra; se as marcas estiverem a exatamente 5 m uma da outra, o canto é reto. Lados de 5, 12 e 13 funcionam do mesmo modo, pois 25 + 144 = 169.

A comparação também classifica os não retângulos. Seja c o maior lado. Se c² é menor que a² + b², o ângulo oposto a c é menor que um reto, e o triângulo é acutângulo. Se c² é maior, é obtusângulo. Lados 6, 7, 9: 81 é menor que 36 + 49 = 85, então é acutângulo. Lados 5, 6, 9: 81 é maior que 25 + 36 = 61, então é obtusângulo.

Escadas, faixas e atalhos

Na maioria dos usos, você encontra um lado a partir dos outros dois. A OpenStax coloca uma escada de 13 ft a 5 ft da parede: o topo alcança √(13² − 5²) = √144 = 12 ft de altura. Uma escada de 20 ft a 6 ft alcança √(400 − 36) = √364, cerca de 19.1 ft. Para um atalho cotidiano, imagine um pátio de 80 m de comprimento e 60 m de largura. Contornar duas bordas dá 140 m; a diagonal é √(6400 + 3600) = √10000 = 100 m, economizando 40 m.