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El teorema de Pitágoras, dos demostraciones y su recíproco

En papel cuadriculado, un triángulo rectángulo con catetos de 3 y 4 cuadros tiene cuadrados de 9 y 16 sobre sus catetos; el cuadrado sobre el lado mayor cubre exactamente 25.

Primero cuenta los cuadrados

En papel cuadriculado, dibuja un triángulo rectángulo cuyos lados cortos recorran 3 cuadros en horizontal y 4 en vertical. Sobre cada lado, dibuja un cuadrado por fuera del triángulo. El del lado de 3 contiene 9 cuadraditos y el del lado de 4 contiene 16. El del lado largo e inclinado está girado, así que es difícil contar; pero si mides su lado con una regla sobre la cuadrícula, obtienes 5, lo que da 25 cuadros. Y 9 + 16 = 25. Prueba con catetos de 6 y 8: los cuadrados contienen 36 y 64, en total 100, y el lado largo mide 10.

Cuadrados sobre los tres lados de un triángulo rectángulo con catetos 3 y 4. Los dos cuadrados pequeños contienen 9 y 16 cuadrados unitarios; el cuadrado inclinado sobre la hipotenusa contiene 25.

En un triángulo rectángulo, el lado opuesto al ángulo recto es la hipotenusa. Siempre es el más largo porque queda frente al ángulo mayor. Los dos lados que forman el ángulo recto son los catetos. El patrón que contaste es el teorema de Pitágoras: en cualquier triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos, a² + b² = c², donde c es la hipotenusa. En Prealgebra de OpenStax se enuncia exactamente así. Elevar al cuadrado no exige que en el dibujo haya cuadrados: puedes aplicar la fórmula directamente a las longitudes.

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Con el ángulo en 37° y la hipotenusa en 5, los catetos miden aproximadamente 3.009 y 3.993, cerca de 3 y 4. Cambia cualquiera de los deslizadores y eleva al cuadrado los dos catetos del panel: su suma siempre es igual al cuadrado de la hipotenusa.

Una demostración que puedes recortar en papel

Contar cuadrados funciona para 3 y 4, pero una demostración debe valer para cualquier triángulo rectángulo. Recorta cuatro copias de uno con catetos a y b e hipotenusa c. Colócalas dentro de un cuadrado de lado a + b de dos maneras. Primero, una en cada esquina, de modo que sus hipotenusas encierren un cuadrado inclinado en el centro; su área es c². Después, agrupa los triángulos en dos rectángulos de a por b y colócalos en esquinas opuestas; quedan libres un cuadrado de lado a y otro de lado b. El cuadrado grande y los cuatro triángulos son los mismos en ambas figuras, así que el espacio libre también debe ser igual: c² = a² + b².

El mismo cuadrado de lado a + b contiene cuatro copias del triángulo de dos maneras. A la izquierda queda libre c²; a la derecha, a² y b².

Con la misma figura puedes hacer una demostración algebraica. El cuadrado grande tiene área (a + b)² = a² + 2ab + b². A la izquierda, esa área es el cuadrado inclinado más cuatro triángulos: c² + 4 × (ab ÷ 2) = c² + 2ab. Iguala ambas expresiones y cancela 2ab: queda a² + b² = c².

ContextoEl teorema es la proposición 47 del libro I de los Elementos de Euclides. En las notas de la edición de D. E. Joyce se explica que Proclo y otros le dieron el nombre de teorema de Pitágoras siglos después de Pitágoras, quien, según OpenStax, vivió hacia 500 a. C. La relación es mucho más antigua. Los escribas de la antigua Babilonia la usaban hacia 1900 a 1600 a. C. para resolver problemas; la tablilla Plimpton 322 muestra que sabían construir ternas pitagóricas. En China, el Zhou bi suan jing contiene un diagrama de la hipotenusa, probablemente agregado por el comentarista Zhao Shuang en el siglo III d. C.: cuatro rectángulos de 3 por 4 alrededor de un cuadrado de 1 por 1 forman un cuadrado de 7 por 7; el cuadrado inclinado interior tiene área 49 − 4 × 6 = 25, así que su lado es 5. Joyce agrega que, según Proclo, la demostración de los Elementos es del propio Euclides.
  • hacia 1900 a 1600 a. C.: Los escribas de la antigua Babilonia usan la relación; la tablilla Plimpton 322 enumera ternas pitagóricas.
  • Siglo VI a. C.: Tales mide una pirámide por su sombra (unidad 5).
  • hacia 500 a. C.: Pitágoras vive en el mundo griego.
  • hace unos 2400 años: Euclides demuestra el teorema (prop. 47) y su recíproco (prop. 48).
  • Siglo III d. C.: Diagrama de la hipotenusa de Zhao Shuang en el Zhou bi suan jing.

El recíproco permite reconocer un ángulo recto

La proposición 48 invierte el teorema. Si el cuadrado de un lado del triángulo es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos, el ángulo entre esos dos es recto. Los constructores usan este recíproco con una cinta métrica: marca 3 m sobre la línea de una pared y 4 m sobre la otra; si las marcas están exactamente a 5 m, la esquina es recta. Los lados 5, 12 y 13 funcionan igual, porque 25 + 144 = 169.

La comparación también permite clasificar triángulos no rectángulos. Sea c el lado más largo. Si c² es menor que a² + b², el ángulo opuesto a c es menor que un ángulo recto y el triángulo es acutángulo. Si c² es mayor, es obtusángulo. Lados 6, 7, 9: 81 es menor que 36 + 49 = 85, así que es acutángulo. Lados 5, 6, 9: 81 es mayor que 25 + 36 = 61, así que es obtusángulo.

Escaleras, pancartas y atajos

Casi siempre se usa para hallar un lado a partir de los otros dos. En OpenStax se coloca una escalera de 13 ft a 5 ft de una pared: llega a √(13² − 5²) = √144 = 12 ft de altura. Una escalera de 20 ft a 6 ft de la pared llega a √(400 − 36) = √364, unos 19.1 ft. Para un atajo más cotidiano, imagina un patio de 80 m de largo y 60 m de ancho. Recorrer dos bordes son 140 m; la diagonal mide √(6400 + 3600) = √10000 = 100 m, así que al cruzar ahorras 40 m.

  1. Los catetos de un triángulo rectángulo miden 3 y 4. Halla la hipotenusa.
  2. Los catetos de un triángulo rectángulo miden 5 y 12. Halla la hipotenusa.
  3. Una escalera de 13 ft está a 5 ft de una pared. ¿A qué altura llega?
  4. Una escalera de 20 ft está a 6 ft de una casa. ¿A qué altura llega, con un decimal?
  5. Una puerta de garaje mide 12 ft de alto y 16 ft de ancho. ¿Cuánto mide una pancarta extendida de una esquina a la opuesta?
  6. Un patio mide 80 m por 60 m. ¿Cuántos metros ahorras al cruzar por la diagonal en vez de recorrer dos bordes?
  7. Una riostra de 10 pulgadas cruza una esquina recta con sus extremos a la misma distancia de la esquina. ¿A qué distancia está cada extremo, con un decimal?
  8. Lados 7, 24 y 25. El triángulo es:
    • rectángulo
    • acutángulo
    • obtusángulo
    • imposible
  9. Lados 6, 7 y 9. El triángulo es:
    • acutángulo
    • rectángulo
    • obtusángulo
    • imposible
  10. Lados 5, 6 y 9. El triángulo es:
    • obtusángulo
    • acutángulo
    • rectángulo
    • imposible
  11. En el diagrama del Zhou bi, cuatro rectángulos de 3 por 4 rodean un cuadrado de 1 por 1 para formar un cuadrado de 7 por 7. ¿Cuál es el área del cuadrado inclinado interior?
  12. Para comprobar una esquina con la regla de 3, 4, 5, marcas 6 m y 8 m sobre las dos líneas. ¿Qué distancia entre las marcas indica que la esquina es recta?
Errores frecuentes
  • «Los catetos miden 6 y 8, así que la hipotenusa es 6 + 8 = 14». Suma los cuadrados, no las longitudes: 36 + 64 = 100, así que la hipotenusa mide 10. De todos modos, por la desigualdad triangular debe medir menos de 14.
  • «Escalera de 13, a 5 de la pared: √(13² + 5²) ≈ 13.9 de altura». La escalera es la hipotenusa, así que resta: √(169 − 25) = 12. Un cateto nunca puede ser más largo que la hipotenusa.
  • «5² + 6² ≠ 9², así que aquí falla el teorema». El teorema solo trata de triángulos rectángulos. Para 5, 6, 9, la desigualdad 81 > 61 indica que es obtusángulo; es la aplicación del recíproco.
Nota para docentesEn el currículo coreano de 2022, el teorema de Pitágoras corresponde a secundaria. Se pide que el alumnado lo conjeture mediante actividades variadas y luego lo justifique; el recíproco debe comprenderse intuitivamente y usarse para decidir si tres lados dados forman un triángulo rectángulo. También se propone aprovechar su historia para despertar interés. Contar cuadrados en papel cuadriculado sirve para formular la conjetura. Para justificarla, se puede recortar en cartón la reorganización de los cuatro triángulos en unos minutos; quienes ven las dos disposiciones juntas rara vez necesitan una segunda explicación del álgebra.
Ideas clave
  • Triángulo rectángulo con catetos a, b e hipotenusa c: a² + b² = c².
  • Demostración: cuatro copias en un cuadrado de lado a + b, dispuestas de dos maneras.
  • Recíproco: si c² = a² + b², el ángulo opuesto a c mide 90°.
  • c² < a² + b² indica acutángulo; c² > a² + b² indica obtusángulo (c es el lado más largo).
Fuentes de este curso (7)
  • Curriculum: 교육부 고시 제2022-33호 [별책 8] 수학과 교육과정 (ncic.re.kr/inv/org/download.do?year=2022&seq=10003559&orgType=ogi4, PDF read 2026-10-19: 초등학교 3~4학년군 [4수03-08] 이등변삼각형·정삼각형, [4수03-09] 직각삼각형·예각삼각형·둔각삼각형, [4수03-25] 삼각형과 사각형의 내각의 크기의 합을 여러 가지 방법으로 추론; 초등학교 5~6학년군 [6수03-01] 합동·대응점·대응변·대응각, [6수03-14] 삼각형의 넓이(높이가 삼각형의 외부에 있는 것도 다룸); 중학교 1~3학년군 [9수03-03] 삼각형의 작도, [9수03-04] 삼각형의 합동 조건, [9수03-05] 삼각형의 내각과 외각, [9수03-09] 이등변삼각형의 성질을 합동 조건으로 정당화하고 증명이라는 용어 도입, [9수03-12]·[9수03-13] 닮음·닮음비·삼각형의 닮음 조건, [9수03-15] 피타고라스 정리를 추측하고 정당화, 역은 직관적으로 이해하고 직각삼각형 판별에 사용; 용어와 기호 대변, 대각, 내각, 외각, 증명, 닮음비, △ABC, ≡, ∽)
  • Textbook: OpenStax, Contemporary Mathematics, 10.3 Triangles (triangle from three noncollinear points; acute, right, obtuse; side a opposite angle A; hypotenuse and legs; angle sum 180° by a parallel line and alternate interior angles; x, x + 17, 3x − 62 gives 45°, 62°, 73°; SSS, SAS, ASA, AAS; similar triangles, scaling factor; tower shadow 180 ft with a 9 ft truck and 15 ft shadow gives 108 ft; Thales and the pyramid: openstax.org/books/contemporary-mathematics/pages/10-3-triangles)
  • OpenStax Prealgebra 2e, 9.3 Use Properties of Angles, Triangles, and the Pythagorean Theorem (a² + b² = c²; Pythagoras around 500 BCE; 13 ft ladder 5 ft from the wall; 10 inch bracket about 7.1 inches; similar triangles: openstax.org/books/prealgebra-2e/pages/9-3-use-properties-of-angles-triangles-and-the-pythagorean-theorem)
  • 9.4 Use Properties of Rectangles, Triangles, and Trapezoids (A = ½bh from half a rectangle; isosceles and equilateral; equilateral perimeter 93 in: .../pages/9-4-use-properties-of-rectangles-triangles-and-trapezoids)
  • OpenStax Precalculus 2e, 8.2 Non-right Triangles: Law of Cosines (Heron’s formula with semi-perimeter s; sides 10, 15, 7 give s = 16 and area about 29.4; Chicago lot 62.4, 43.5, 34.1 m gives about 711.4 m²: openstax.org/books/precalculus-2e/pages/8-2-non-right-triangles-law-of-cosines)
  • History for story blocks only: Euclid’s Elements, D. E. Joyce edition, Clark University (Book I Prop. 20 triangle inequality and Heron’s shortest-path problem; Prop. 26 and its guide on congruence theorems, SSA ambiguity and side-side-right angle; Prop. 32 exterior angle and angle sum, Proclus corollaries; Prop. 47 and its guide on Old Babylonians ca. 1900 to 1600 BCE, Plimpton 322, the Zhou bi hypotenuse diagram, Proclus; Prop. 48 converse; Book VI Prop. 4 equiangular triangles: mathcs.clarku.edu/~djoyce/elements/bookI/propI47.html)
  • MacTutor History of Mathematics, University of St Andrews, Heron of Alexandria (formula proved in Metrica Book I; eclipse of 13 March 62; side of 720 about 26 5/6: mathshistory.st-andrews.ac.uk/Biographies/Heron/) MacTutor, "Euclid of Alexandria" (born about 325 BC, died about 265 BC; dating for the Elements, about 2,300 years ago: mathshistory.st-andrews.ac.uk/Biographies/Euclid/, checked 2026-10-19).

Fecha de consulta: 2026-10-19