三平方の定理、二つの証明と逆

方眼紙で、直角をはさむ辺が3マスと4マスの直角三角形なら、その辺に立てた正方形は9マスと16マス、斜辺の正方形はちょうど25マスです。

まずマスを数える

方眼紙に、短い2辺が横3マス、縦4マスの直角三角形を描きます。各辺の上に、三角形の外側に向かう正方形を描きます。長さ3の辺の正方形には小さな正方形が9個、長さ4の辺の正方形には16個入ります。長く斜めの辺の正方形は傾いているので数えにくいですが、方眼を基準に定規で辺を測ると5となり、面積は25マス分です。そして9 + 16 = 25です。次は短い2辺を6と8にしてみましょう。正方形は36マスと64マスで、合計100マスになり、長い辺の長さは10です。

直角を挟む2辺が3と4の直角三角形について、3辺の上に正方形を描いています。小さな2つの正方形には単位正方形が9個と16個入り、斜辺の上の傾いた正方形には25個入ります。

直角三角形で、直角の向かいにある辺が斜辺です。最大の角の向かいにあるので、必ず最も長い辺になります。直角を作る残りの2辺が、直角を挟む辺です。数えて見つけた規則が三平方の定理です。どんな直角三角形でも、斜辺の2乗はほかの2辺の2乗の和に等しくなります。斜辺をcとすると、a² + b² = c²です。OpenStaxのPrealgebraでも、まさにこの形で述べています。2乗といっても、図に正方形を描く必要はありません。辺の長さだけに公式を使えます。

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角が37°、斜辺が5なら、直角をはさむ二辺は約3.009と3.993で、3と4に近くなります。どちらのスライダーを変えても、パネルで二辺を二乗して足すと、和はいつも斜辺の二乗になります。

紙で切り出せる証明

正方形を数える方法は3と4では使えますが、証明はどんな直角三角形にも成り立たなければなりません。直角を挟む2辺をa、b、斜辺をcとする任意の直角三角形を、同じ形で4枚切り抜きます。これを1辺a + bの正方形の中に、2通りに並べます。最初は各隅に1枚ずつ置き、斜辺が中央の傾いた正方形を囲むようにします。その正方形の面積はc²です。次は三角形を2枚ずつ組み合わせて縦a、横bの長方形を2つ作り、向かい合う隅に寄せます。空いた部分は1辺aの正方形と1辺bの正方形になります。どちらの図も大きな正方形と4枚の三角形は同じなので、空いた部分の面積も同じです。したがってc² = a² + b²です。

同じ辺a + bの正方形に四枚を二通り置いています。左の残りはc²、右はa²とb²です。

同じ図で、代数による証明もできます。大きな正方形の面積は(a + b)² = a² + 2ab + b²です。左の図では、この面積は傾いた正方形と四つの三角形の和で、c² + 4 × (ab ÷ 2) = c² + 2abです。二つを等しいとおくと2abが消えて、a² + b² = c²が残ります。

背景この定理は、ユークリッド『原論』第I巻の命題47です。D. E. ジョイス版の注では、ピタゴラスの定理という呼び名は、ピタゴラスの数世紀後にプロクロスらが付けたものだと説明しています。OpenStaxによると、ピタゴラスは紀元前500年ごろの人です。この関係そのものはもっとずっと古くからありました。紀元前1900～1600年ごろの古バビロニアの書記は、これを使って問題を解いていました。プリンプトン322として知られる粘土板には、彼らがピタゴラス数を作れたことが表れています。中国の『周髀算経』には弦図があり、三世紀に注釈者の趙爽が加えたと考えられています。3×4の長方形四つを1×1の正方形のまわりに置くと7×7の正方形ができ、内側の傾いた正方形の面積は49 − 4 × 6 = 25なので、その一辺は5です。ジョイスは、プロクロスによれば『原論』の証明はユークリッド自身のものだと付け加えています。

紀元前1900～1600年ごろ: 古バビロニアの書記がこの関係を使い、プリンプトン322にピタゴラス数が並んでいます。
紀元前6世紀: タレスが影でピラミッドを測ります（単元5）。
紀元前500年ごろ: ピタゴラスがギリシャ世界で活動します。
約2400年前: ユークリッドが定理（命題47）とその逆（命題48）を証明します。
紀元3世紀: 『周髀算経』の趙爽の弦図です。

逆を使って直角を見分ける

命題48は、この定理を逆向きに述べています。三角形のある辺の2乗が、残りの2辺の2乗の和と等しければ、その2辺の間の角は直角です。この逆を建築の現場では巻き尺で使います。一方の壁の線に沿って3 m、もう一方に沿って4 mの位置に印を付け、その間がちょうど5 mなら、角は直角です。辺が5、12、13でも同じことができます。25 + 144 = 169だからです。

この比較は、直角でない三角形の分類にも使えます。cを最長の辺とします。c²がa² + b²より小さければ、cの向かいの角は直角より小さく、三角形は鋭角三角形です。c²が大きければ、その角は鈍角です。6、7、9では、81は36 + 49 = 85より小さいので鋭角です。5、6、9では、81は25 + 36 = 61より大きいので鈍角です。

はしご、横断幕、近道

多くの利用は、二辺から残りの一辺を求めるものです。OpenStaxは、13 ftのはしごを壁から5 ft離して立てる例を挙げています。はしごの先は壁の√(13² − 5²) = √144 = 12 ftの高さに届きます。20 ftのはしごを6 ft離すと、√(400 − 36) = √364で、約19.1 ftの高さです。もっと身近な近道として、長さ80 m、幅60 mの運動場を考えましょう。二辺に沿って歩くと140 mですが、対角線は√(6400 + 3600) = √10000 = 100 mなので、横切ると40 m短くなります。

直角三角形の直角をはさむ辺が3と4です。斜辺を求めましょう。
直角三角形の直角をはさむ辺が5と12です。斜辺を求めましょう。
13 ftのはしごを壁から5 ft離して立てます。壁のどの高さまで届きますか？
20 ftのはしごを家から6 ft離して立てます。届く高さを小数第一位まで求めましょう。
高さ12 ft、幅16 ftのガレージの扉に、角から角まで横断幕を張ります。横断幕の長さは？
80 m×60 mの運動場で、二辺に沿って歩く代わりに対角線を歩くと、何メートル短くなりますか？
直角の隅に10インチの支えを付け、両端を角から等距離にします。その距離を小数第一位まで求めましょう。
辺が7、24、25の三角形は？
- 直角三角形
- 鋭角三角形
- 鈍角三角形
- 存在しない
辺が6、7、9の三角形は？
- 鋭角三角形
- 直角三角形
- 鈍角三角形
- 存在しない
辺が5、6、9の三角形は？
- 鈍角三角形
- 鋭角三角形
- 直角三角形
- 存在しない
『周髀算経』の図では、3×4の長方形四つが1×1の正方形を囲み、7×7の正方形を作ります。内側の傾いた正方形の面積は？
3、4、5の規則で隅を確かめるため、二本の線に沿って6 mと8 mの位置に印を付けます。印の間の距離がいくつなら、隅は直角ですか？

よくある間違い

「直角をはさむ辺が6と8なので、斜辺は6 + 8 = 14です」 長さでなく二乗を足します。36 + 64 = 100なので、斜辺は10です。三角不等式からも、斜辺は14より短いはずです。
「はしごの長さが13で壁から5離れているので、高さは√(13² + 5²) ≈ 13.9です」 はしごは斜辺なので、引き算をします。√(169 − 25) = 12です。直角をはさむ辺が斜辺より長くなることはありません。
「5² + 6² ≠ 9²なので定理が成り立ちません」 対象は直角三角形です。5、6、9は81 > 61から鈍角と分かり、逆向きの判定を使っています。

先生からひとこと韓国の2022年改訂教育課程では、三平方の定理は中学校の内容です。解説では、さまざまな活動を通して定理を予想させ、その後に説明させるよう求めています。一方、その逆は直感的に理解し、与えられた3辺が直角三角形を作るかの判断に使います。また、歴史を使って関心を高めることも提案しています。方眼紙で正方形を数える活動は予想の段階によく合います。説明には、厚紙から数分で作れる4枚の三角形の並べ替えが使えます。2つの配置を並べて見た学習者は、式の説明を繰り返し聞く必要がほとんどありません。

ポイント

直角をはさむ辺がa、b、斜辺がcの直角三角形では、a² + b² = c²です。
証明：辺a + bの正方形に、同じ直角三角形四枚を二通りに並べます。
逆：c² = a² + b²ならば、cの向かいの角は90°です。
c² < a² + b²なら鋭角、c² > a² + b²なら鈍角です（cは最長辺）。

このコースの出典 (7)

Curriculum: 교육부 고시 제2022-33호 [별책 8] 수학과 교육과정 (ncic.re.kr/inv/org/download.do?year=2022&seq=10003559&orgType=ogi4, PDF read 2026-10-19: 초등학교 3~4학년군 [4수03-08] 이등변삼각형·정삼각형, [4수03-09] 직각삼각형·예각삼각형·둔각삼각형, [4수03-25] 삼각형과 사각형의 내각의 크기의 합을 여러 가지 방법으로 추론; 초등학교 5~6학년군 [6수03-01] 합동·대응점·대응변·대응각, [6수03-14] 삼각형의 넓이(높이가 삼각형의 외부에 있는 것도 다룸); 중학교 1~3학년군 [9수03-03] 삼각형의 작도, [9수03-04] 삼각형의 합동 조건, [9수03-05] 삼각형의 내각과 외각, [9수03-09] 이등변삼각형의 성질을 합동 조건으로 정당화하고 증명이라는 용어 도입, [9수03-12]·[9수03-13] 닮음·닮음비·삼각형의 닮음 조건, [9수03-15] 피타고라스 정리를 추측하고 정당화, 역은 직관적으로 이해하고 직각삼각형 판별에 사용; 용어와 기호 대변, 대각, 내각, 외각, 증명, 닮음비, △ABC, ≡, ∽)
Textbook: OpenStax, Contemporary Mathematics, 10.3 Triangles (triangle from three noncollinear points; acute, right, obtuse; side a opposite angle A; hypotenuse and legs; angle sum 180° by a parallel line and alternate interior angles; x, x + 17, 3x − 62 gives 45°, 62°, 73°; SSS, SAS, ASA, AAS; similar triangles, scaling factor; tower shadow 180 ft with a 9 ft truck and 15 ft shadow gives 108 ft; Thales and the pyramid: openstax.org/books/contemporary-mathematics/pages/10-3-triangles)
OpenStax Prealgebra 2e, 9.3 Use Properties of Angles, Triangles, and the Pythagorean Theorem (a² + b² = c²; Pythagoras around 500 BCE; 13 ft ladder 5 ft from the wall; 10 inch bracket about 7.1 inches; similar triangles: openstax.org/books/prealgebra-2e/pages/9-3-use-properties-of-angles-triangles-and-the-pythagorean-theorem)
9.4 Use Properties of Rectangles, Triangles, and Trapezoids (A = ½bh from half a rectangle; isosceles and equilateral; equilateral perimeter 93 in: .../pages/9-4-use-properties-of-rectangles-triangles-and-trapezoids)
OpenStax Precalculus 2e, 8.2 Non-right Triangles: Law of Cosines (Heron’s formula with semi-perimeter s; sides 10, 15, 7 give s = 16 and area about 29.4; Chicago lot 62.4, 43.5, 34.1 m gives about 711.4 m²: openstax.org/books/precalculus-2e/pages/8-2-non-right-triangles-law-of-cosines)
History for story blocks only: Euclid’s Elements, D. E. Joyce edition, Clark University (Book I Prop. 20 triangle inequality and Heron’s shortest-path problem; Prop. 26 and its guide on congruence theorems, SSA ambiguity and side-side-right angle; Prop. 32 exterior angle and angle sum, Proclus corollaries; Prop. 47 and its guide on Old Babylonians ca. 1900 to 1600 BCE, Plimpton 322, the Zhou bi hypotenuse diagram, Proclus; Prop. 48 converse; Book VI Prop. 4 equiangular triangles: mathcs.clarku.edu/~djoyce/elements/bookI/propI47.html)
MacTutor History of Mathematics, University of St Andrews, Heron of Alexandria (formula proved in Metrica Book I; eclipse of 13 March 62; side of 720 about 26 5/6: mathshistory.st-andrews.ac.uk/Biographies/Heron/) MacTutor, "Euclid of Alexandria" (born about 325 BC, died about 265 BC; dating for the Elements, about 2,300 years ago: mathshistory.st-andrews.ac.uk/Biographies/Euclid/, checked 2026-10-19).

確認日: 2026-10-19