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三角形の面積とヘロンの公式

辺が13 m、14 m、15 mの三角形の面積はちょうど84 m²で、まったく異なる二つの道すじで求められます。

三辺だけ分かる土地

問題を考えましょう。角地にある小さな三角形の土地に芝の種をまきます。巻き尺で測った3辺は13 m、14 m、15 mです。種の袋には、1袋で何平方メートルにまけるかが書いてあります。この土地は何平方メートルでしょうか。三角形の面積が底辺と高さの積の半分だとは知っていますが、高さは誰も測っていません。1辺から反対の頂点まで、巻き尺を正確に90°でまっすぐ伸ばすのは、思うほど簡単ではありません。先を読む前に面積を求めてみましょう。これまでの単元で学んだことだけを使う方法があります。

一つの道すじは三平方の定理を使います。14 mの辺を底辺とし、向かいの頂点から高さhを下ろします。高さは底辺を、たとえばxと14 − xの二つに分け、二つの直角三角形ができます。左の三角形からはh² = 13² − x²、右の三角形からはh² = 15² − (14 − x)²です。二つを等しいとおくと、169 − x² = 225 − 196 + 28x − x²となり、28x = 140、x = 5です。すると、h² = 169 − 25 = 144なので、h = 12です。面積は14 × 12 ÷ 2 = 84 m²です。二つの直角三角形は5、12、13と9、12、15で、どちらも辺の長さが整数です。

左：13-14-15の三角形で、底辺14への高さ12が底辺を5と9に分けます。右：高さhが外側にくる鈍角三角形で、hは底辺bの延長上に下ります。

なぜ底辺×高さの半分か

OpenStaxのPrealgebraは、底辺b、高さh、面積b × hの長方形から始めます。対角線で切ると、同じ三角形が2つでき、それぞれの面積はbhの半分です。これで直角三角形については分かります。ほかの三角形では、同じ底辺と高さを持つ長方形で囲みます。残りの2つの部分は、元の三角形を構成する2つの直角三角形とそれぞれ同じ形なので、三角形は長方形の半分を占めます。どちらの場合もA = ½ × b × hです。高さは、選んだ底辺に直角な向きに、底辺の直線から反対の頂点までを測ります。それぞれに対応する高さを使えば、どの辺も底辺にできます。

鈍角三角形では、図の右側のように、高さが三角形の外側にくる場合があります。これは間違いではありません。底辺の直線を延長し、反対の頂点からその延長線に垂線を下ろして、その長さをhとします。公式はそのまま成り立ちます。元の三角形は、高さが同じ大きな直角三角形から小さな直角三角形を引いたものだからです。

知っておきたい結果が1つあります。底辺と高さが同じ三角形は、どれほど傾いていても面積が同じです。上の頂点を底辺に平行な直線に沿って動かしても、面積は変わりません。ユークリッドは三平方の定理の証明の中でこの考えを使っています。同じ底辺を持ち、同じ2本の平行線の間にある平行四辺形の面積は、三角形の2倍になるという場面です。

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斜辺が6の直角三角形です。直角をはさむ二辺が底辺と高さなので、面積は隣辺 × 対辺 ÷ 2です。45°では約4.243 × 4.243 ÷ 2 = 9になります。斜辺を固定したまま角を45°から離し、もう一度面積を計算してみましょう。面積は小さくなります。

ヘロンの公式は三辺だけでよい

二つ目の道すじでは、高さはまったく要りません。OpenStax Precalculusは、辺がa、b、cの三角形についてヘロンの公式を示しています。まず周の半分sを求めます。s = (a + b + c) ÷ 2です。次に、面積 = √(s(s − a)(s − b)(s − c))です。13、14、15ならs = 42 ÷ 2 = 21で、面積は√(21 × 8 × 7 × 6) = √7056 = 84です。答えは同じで、高さは使っていません。同書の例の、辺が10、15、7の三角形では、s = 16で、面積は√(16 × 6 × 1 × 9) = √864、約29.4平方単位です。

公式を手早く確かめるには、答えが分かっている場合に当てはめてみます。3、4、5の直角三角形ではs = 6で、√(6 × 3 × 2 × 1) = √36 = 6となり、3 × 4 ÷ 2とちょうど一致します。5、5、8ではs = 9で、√(9 × 4 × 4 × 1) = √144 = 12です。8の辺への高さは、3² + 4² = 5²より3なので、8 × 3 ÷ 2 = 12となります。三角不等式を満たさない3、4、7のような辺では、s = 7で、因数s − cが0になり、面積は0です。この公式は単元3と一致します。

背景アレクサンドリアのヘロンは、測量、機械、鏡について書き残しました。セント・アンドルーズ大学のMacTutorの伝記によると、彼の最もよく知られた数学の成果はこの公式で、『測量術』第I巻で証明しています。彼がいつの人かは長いあいだ意見が一致せず、数世紀も離れた推測がありました。1938年に歴史家オットー・ノイゲバウアーが、ヘロンの記す月食を、62年3月13日にアレクサンドリアで見られたものと結び付けました。『測量術』には、ヘロンが平方根を手計算で求める様子も出ています。720には整数の平方根がないので、720を27で割って27を足し、半分にして26 5/6を得ます。その二乗は720 1/36です。
  1. 底辺が12インチ、高さが5インチの三角形の面積を求めましょう。
  2. 底辺が11、高さが8の三角形の面積を求めましょう。
  3. 直角をはさむ辺が6と9の直角三角形の面積を求めましょう。
  4. 面積が24 cm²、底辺が8 cmの三角形です。高さを求めましょう。
  5. 辺が13、14、15の三角形に、ヘロンの公式を使いましょう。
  6. 辺が10、15、7の三角形に、ヘロンの公式を使い、小数第一位まで求めましょう。
  7. 辺が62.4 m、43.5 m、34.1 mの三角形の半周長sを求めましょう。
  8. 一辺6の正三角形の面積を小数第二位まで求めましょう。
  9. 辺が5、5、8の二等辺三角形の面積を求めましょう。
  10. 二つの三角形が底辺ABを共有し、第三の頂点はABに平行な一本の直線上にあります。二つの面積は？
    • 等しい
    • 合同でなければ異なる
    • 両方直角の場合だけ等しい
    • 比較できない
  11. 斜辺を6に固定すると、三角比の実験室の直角三角形は、45°のとき面積が最大になります。その面積は？
よくある間違い
  • 「鈍角三角形の高さは、高さが三角形の内側になければならないので、斜めの辺です」 高さは底辺の直線と向かいの頂点の垂直距離です。鈍角では延長上の外側に下りることがあります。斜めの辺は高さではありません。
  • 「面積 = 底辺×高さです」 それは周りの長方形です。三角形は半分なので2で割ります。14と12なら84で、168ではありません。
  • 「ヘロンの公式のsは周の長さです」 sは周の長さの半分です。13、14、15でs = 42とすると√(42 × 29 × 28 × 27)となり、大きすぎます。正しいs = 21なら84になります。
先生からひとこと韓国の2022年改訂教育課程では、三角形の面積の公式は小学校5～6年の内容です。平行四辺形、三角形、台形、ひし形の面積をいくつかの方法で導くよう求めています。注記では、高さが外側にくる三角形も扱い、面積を1 cm²の正方形がいくつ入るかとして理解させるとしています。ヘロンの公式は教育課程に含まれません。平方根と三平方の定理をすでに学んだ学習者向けの発展内容として扱いましょう。13、14、15の問題はよい橋渡しになります。手持ちの知識で解いた後、ヘロンの公式も1行で同じ84に到達するのを見られるからです。
ポイント
  • 面積 = 底辺×高さ÷2で、高さは選んだ底辺に垂直です。
  • 鈍角では高さが底辺の延長上、外側に下りることがあります。
  • 同じ底辺と高さなら面積も同じです。
  • ヘロン：s = (a + b + c) ÷ 2、面積 = √(s(s − a)(s − b)(s − c))。
このコースの出典 (7)
  • Curriculum: 교육부 고시 제2022-33호 [별책 8] 수학과 교육과정 (ncic.re.kr/inv/org/download.do?year=2022&seq=10003559&orgType=ogi4, PDF read 2026-10-19: 초등학교 3~4학년군 [4수03-08] 이등변삼각형·정삼각형, [4수03-09] 직각삼각형·예각삼각형·둔각삼각형, [4수03-25] 삼각형과 사각형의 내각의 크기의 합을 여러 가지 방법으로 추론; 초등학교 5~6학년군 [6수03-01] 합동·대응점·대응변·대응각, [6수03-14] 삼각형의 넓이(높이가 삼각형의 외부에 있는 것도 다룸); 중학교 1~3학년군 [9수03-03] 삼각형의 작도, [9수03-04] 삼각형의 합동 조건, [9수03-05] 삼각형의 내각과 외각, [9수03-09] 이등변삼각형의 성질을 합동 조건으로 정당화하고 증명이라는 용어 도입, [9수03-12]·[9수03-13] 닮음·닮음비·삼각형의 닮음 조건, [9수03-15] 피타고라스 정리를 추측하고 정당화, 역은 직관적으로 이해하고 직각삼각형 판별에 사용; 용어와 기호 대변, 대각, 내각, 외각, 증명, 닮음비, △ABC, ≡, ∽)
  • Textbook: OpenStax, Contemporary Mathematics, 10.3 Triangles (triangle from three noncollinear points; acute, right, obtuse; side a opposite angle A; hypotenuse and legs; angle sum 180° by a parallel line and alternate interior angles; x, x + 17, 3x − 62 gives 45°, 62°, 73°; SSS, SAS, ASA, AAS; similar triangles, scaling factor; tower shadow 180 ft with a 9 ft truck and 15 ft shadow gives 108 ft; Thales and the pyramid: openstax.org/books/contemporary-mathematics/pages/10-3-triangles)
  • OpenStax Prealgebra 2e, 9.3 Use Properties of Angles, Triangles, and the Pythagorean Theorem (a² + b² = c²; Pythagoras around 500 BCE; 13 ft ladder 5 ft from the wall; 10 inch bracket about 7.1 inches; similar triangles: openstax.org/books/prealgebra-2e/pages/9-3-use-properties-of-angles-triangles-and-the-pythagorean-theorem)
  • 9.4 Use Properties of Rectangles, Triangles, and Trapezoids (A = ½bh from half a rectangle; isosceles and equilateral; equilateral perimeter 93 in: .../pages/9-4-use-properties-of-rectangles-triangles-and-trapezoids)
  • OpenStax Precalculus 2e, 8.2 Non-right Triangles: Law of Cosines (Heron’s formula with semi-perimeter s; sides 10, 15, 7 give s = 16 and area about 29.4; Chicago lot 62.4, 43.5, 34.1 m gives about 711.4 m²: openstax.org/books/precalculus-2e/pages/8-2-non-right-triangles-law-of-cosines)
  • History for story blocks only: Euclid’s Elements, D. E. Joyce edition, Clark University (Book I Prop. 20 triangle inequality and Heron’s shortest-path problem; Prop. 26 and its guide on congruence theorems, SSA ambiguity and side-side-right angle; Prop. 32 exterior angle and angle sum, Proclus corollaries; Prop. 47 and its guide on Old Babylonians ca. 1900 to 1600 BCE, Plimpton 322, the Zhou bi hypotenuse diagram, Proclus; Prop. 48 converse; Book VI Prop. 4 equiangular triangles: mathcs.clarku.edu/~djoyce/elements/bookI/propI47.html)
  • MacTutor History of Mathematics, University of St Andrews, Heron of Alexandria (formula proved in Metrica Book I; eclipse of 13 March 62; side of 720 about 26 5/6: mathshistory.st-andrews.ac.uk/Biographies/Heron/) MacTutor, "Euclid of Alexandria" (born about 325 BC, died about 265 BC; dating for the Elements, about 2,300 years ago: mathshistory.st-andrews.ac.uk/Biographies/Euclid/, checked 2026-10-19).

確認日: 2026-10-19