Área do triângulo e fórmula de Heron

Um triângulo de lados 13, 14 e 15 m tem área de exatamente 84 m², e você pode chegar a esse número por dois caminhos bem diferentes.

Um terreno conhecido só pelos três lados

Este é o problema. Um pequeno terreno triangular de esquina vai receber grama. Seus lados, medidos com trena, são 13 m, 14 m e 15 m. O pacote de sementes informa quantos metros quadrados cobre. Qual é a área do terreno? Você sabe que a área do triângulo é metade da base vezes a altura, mas ninguém mediu a altura; esticar a trena de uma borda ao vértice oposto a exatamente 90° é mais difícil do que parece. Tente achar a área antes de continuar. Um caminho usa apenas o que você já aprendeu.

Um caminho usa Pitágoras. Tome o lado de 14 m como base e trace a altura h do vértice oposto. Ela divide a base em x e 14 − x, formando dois triângulos retângulos. No esquerdo, h² = 13² − x². No direito, h² = 15² − (14 − x)². Iguale: 169 − x² = 225 − 196 + 28x − x², então 28x = 140 e x = 5. Logo h² = 169 − 25 = 144 e h = 12. A área é 14 × 12 ÷ 2 = 84 m². Os triângulos são 5, 12, 13 e 9, 12, 15, ambos com lados inteiros.

Por que metade da base vezes a altura

O Prealgebra da OpenStax parte de um retângulo de base b, altura h e área b × h e o corta pela diagonal em dois triângulos idênticos, cada um com metade de bh. Isso resolve os triângulos retângulos. Para os demais, desenhe ao redor um retângulo de mesma base e altura. O triângulo ocupa metade, pois as duas peças restantes são cópias dos dois triângulos retângulos que o compõem. Nos dois casos, A = ½ × b × h. A altura é perpendicular à base escolhida, da reta da base ao vértice oposto; qualquer lado pode ser a base se você usar sua altura correspondente.

Num obtusângulo, a altura pode ficar fora do triângulo, como à direita da figura. Não é erro. Prolongue a reta da base, trace a perpendicular do vértice oposto até ela e use esse comprimento como h. A fórmula ainda funciona porque o triângulo é a diferença entre um triângulo retângulo grande e um triângulo retângulo menor de mesma altura.

Vale conhecer uma consequência: triângulos de mesma base e altura têm a mesma área, por mais inclinados que sejam. Deslize o vértice superior por uma paralela à base e a área não muda. Euclides usa essa ideia na demonstração de Pitágoras: um paralelogramo tem o dobro da área de um triângulo na mesma base entre as mesmas paralelas.

A fórmula de Heron só precisa dos três lados

O segundo caminho dispensa a altura. O Precalculus da OpenStax apresenta a fórmula de Heron para lados a, b e c. Primeiro ache s, metade do perímetro: s = (a + b + c) ÷ 2. Depois, Área = √(s(s − a)(s − b)(s − c)). Para 13, 14 e 15, s = 42 ÷ 2 = 21 e a área é √(21 × 8 × 7 × 6) = √7056 = 84. Mesma resposta, sem altura. No exemplo do livro, lados 10, 15 e 7, s = 16 e a área é √(16 × 6 × 1 × 9) = √864, cerca de 29.4 unidades quadradas.

Um teste rápido é aplicar a fórmula a um caso conhecido. No triângulo retângulo 3, 4, 5, s = 6 e √(6 × 3 × 2 × 1) = √36 = 6, exatamente 3 × 4 ÷ 2. Para 5, 5, 8, s = 9 e √(9 × 4 × 4 × 1) = √144 = 12; a altura ao lado 8 é 3, pois 3² + 4² = 5², e 8 × 3 ÷ 2 = 12. Veja também os lados que violam a desigualdade triangular, como 3, 4, 7: s = 7, o fator s − c é 0 e a área é 0. O resultado concorda com a unidade 3.