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Start›Geometrie und Zeichnungen›Dreiecke

Satz des Pythagoras, zwei Beweise und die Umkehrung

Auf Karopapier hat ein rechtwinkliges Dreieck mit Katheten von 3 und 4 Kästchen Quadrate von 9 und 16 an den Katheten; das Quadrat an der längsten Seite bedeckt genau 25.

Zuerst die Quadrate zählen

Zeichne auf Karopapier ein rechtwinkliges Dreieck mit 3 Kästchen waagerecht und 4 senkrecht. Zeichne nach außen an jede Seite ein Quadrat. An der Seite 3 enthält es 9 Kästchen, an der Seite 4 enthält es 16. Das Quadrat an der langen schrägen Seite ist gedreht und schwer zu zählen. Miss seine Seite mit dem Lineal am Raster: 5, also 25 Kästchen. Und 9 + 16 = 25. Versuch Katheten 6 und 8: Die Quadrate enthalten 36 und 64, zusammen 100; die lange Seite misst 10.

Quadrate an einem rechtwinkligen Dreieck mit Katheten 3 und 4. Die kleinen enthalten 9 und 16 Einheitsquadrate, das gedrehte an der Hypotenuse 25.

Die Seite gegenüber dem rechten Winkel heißt Hypotenuse. Sie ist immer die längste, da sie dem größten Winkel gegenüberliegt. Die beiden Seiten des rechten Winkels heißen Katheten. Das gezählte Muster ist der Satz des Pythagoras: Das Quadrat der Hypotenuse ist die Summe der Kathetenquadrate, a² + b² = c², wobei c die Hypotenuse ist. OpenStax Prealgebra formuliert es genau so. Quadrieren heißt nicht, dass die Zeichnung Quadrate zeigen muss; du kannst allein mit den Längen rechnen.

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Bei Winkel 37° und Hypotenuse 5 ergeben sich Katheten von etwa 3.009 und 3.993, nahe bei 3 und 4. Ändere einen Regler und quadriere beide Katheten im Feld: Die Summe ist immer das Hypotenusenquadrat.

Ein Beweis zum Ausschneiden

Zählen klappt für 3 und 4, ein Beweis muss jedes rechtwinklige Dreieck erfassen. Schneide vier Kopien eines Dreiecks mit Katheten a, b und Hypotenuse c aus. Ordne sie auf zwei Arten in einem Quadrat der Seite a + b an. Zuerst eines in jede Ecke, sodass die Hypotenusen ein gedrehtes Quadrat der Fläche c² einschließen. Dann bilde aus Paaren zwei Rechtecke a mal b in gegenüberliegenden Ecken. Frei bleiben ein Quadrat der Seite a und eines der Seite b. Das große Quadrat und die vier Dreiecke sind dieselben, also auch die Restfläche: c² = a² + b².

Dasselbe Quadrat mit der Seite a + b enthält vier Kopien des Dreiecks auf zwei Arten. Links ist der übrig bleibende Platz c², rechts sind es a² und b².

Die Zeichnung liefert auch einen algebraischen Beweis. Das große Quadrat hat Fläche (a + b)² = a² + 2ab + b². Links besteht sie aus dem gedrehten Quadrat und vier Dreiecken: c² + 4 × (ab ÷ 2) = c² + 2ab. Setze gleich und zieh 2ab ab: a² + b² = c².

HintergrundDer Satz steht als Satz 47 in Buch I von Euklids Elementen. Joyce erklärt, Proklos und andere hätten den Satz erst Jahrhunderte nach Pythagoras nach ihm benannt. Laut OpenStax lebte Pythagoras um 500 v. Chr. Die Beziehung ist viel älter: Babylonische Schreiber nutzten sie um 1900 bis 1600 v. Chr.; die Tontafel Plimpton 322 zeigt, dass sie pythagoreische Zahlentripel erzeugten. In China enthält das Zhou bi suan jing ein Hypotenusendiagramm, wohl vom Kommentator Zhao Shuang im dritten Jahrhundert ergänzt: Vier Rechtecke von 3 mal 4 um ein Quadrat von 1 mal 1 bilden ein Quadrat von 7 mal 7. Das gedrehte Quadrat innen hat Fläche 49 − 4 × 6 = 25, also Seite 5. Laut Proklos, ergänzt Joyce, stammt der Beweis in den Elementen von Euklid selbst.
  • etwa 1900 bis 1600 v. Chr.: Babylonische Schreiber nutzen die Beziehung; Plimpton 322 listet pythagoreische Zahlentripel.
  • 6. Jahrhundert v. Chr.: Thales misst eine Pyramide über ihren Schatten (Einheit 5).
  • etwa 500 v. Chr.: Pythagoras lebt in der griechischen Welt.
  • vor etwa 2400 Jahren: Euklid beweist den Satz (Satz 47) und die Umkehrung (Satz 48).
  • 3. Jahrhundert n. Chr.: Zhao Shuangs Hypotenusendiagramm im Zhou bi suan jing.

Die Umkehrung erkennt rechte Winkel

Satz 48 lässt den Satz rückwärts laufen. Wenn das Quadrat über einer Seite eines Dreiecks gleich der Summe der Quadrate über den beiden anderen ist, dann ist der Winkel zwischen diesen beiden Seiten ein rechter Winkel. Diese Umkehrung nutzen Bauleute mit einem Maßband: Markiere 3 m entlang der einen Wandlinie und 4 m entlang der anderen, und wenn die Markierungen genau 5 m voneinander entfernt sind, ist die Ecke rechtwinklig. Seiten von 5, 12 und 13 funktionieren genauso, denn 25 + 144 = 169.

Der Vergleich teilt auch nicht rechtwinklige Dreiecke ein. Sei c die längste Seite. Ist c² kleiner als a² + b², ist der gegenüberliegende Winkel spitz und das Dreieck spitzwinklig. Ist c² größer, ist es stumpfwinklig. Seiten 6, 7, 9: 81 ist kleiner als 36 + 49 = 85, also spitzwinklig. Seiten 5, 6, 9: 81 ist größer als 25 + 36 = 61, also stumpfwinklig.

Leitern, Banner und Abkürzungen

Meist suchst du eine Seite aus den anderen. Bei OpenStax steht eine Leiter von 13 ft Länge 5 ft von der Wand entfernt: Sie reicht √(13² − 5²) = √144 = 12 ft hoch. Eine Leiter von 20 ft im Abstand 6 ft erreicht √(400 − 36) = √364, etwa 19.1 ft. Stell dir einen Hof von 80 m mal 60 m vor. Zwei Ränder entlang sind es 140 m; die Diagonale ist √(6400 + 3600) = √10000 = 100 m. Du sparst 40 m.

  1. Die Katheten eines rechtwinkligen Dreiecks sind 3 und 4. Finde die Hypotenuse.
  2. Die Katheten eines rechtwinkligen Dreiecks sind 5 und 12. Finde die Hypotenuse.
  3. Eine Leiter von 13 ft steht 5 ft von einer Wand entfernt. Wie hoch reicht sie?
  4. Eine Leiter von 20 ft steht 6 ft von einem Haus entfernt. Wie hoch reicht sie auf eine Dezimalstelle?
  5. Ein Garagentor ist 12 ft hoch und 16 ft breit. Wie lang ist ein Banner zwischen gegenüberliegenden Ecken?
  6. Ein Hof ist 80 m mal 60 m groß. Wie viele Meter sparst du, wenn du die Diagonale statt zwei Seiten entlang gehst?
  7. Eine Strebe von 10 Zoll überbrückt einen rechten Winkel, beide Enden gleich weit von der Ecke. Wie groß ist dieser Abstand auf eine Dezimalstelle?
  8. Seiten 7, 24 und 25. Das Dreieck ist:
    • rechtwinklig
    • spitzwinklig
    • stumpfwinklig
    • unmöglich
  9. Seiten 6, 7 und 9. Das Dreieck ist:
    • spitzwinklig
    • rechtwinklig
    • stumpfwinklig
    • unmöglich
  10. Seiten 5, 6 und 9. Das Dreieck ist:
    • stumpfwinklig
    • spitzwinklig
    • rechtwinklig
    • unmöglich
  11. Im Zhou-bi-Diagramm umgeben vier Rechtecke von 3 mal 4 ein Quadrat von 1 mal 1 in einem Quadrat von 7 mal 7. Wie groß ist das gedrehte Quadrat innen?
  12. Für die Regel 3, 4, 5 markierst du 6 m und 8 m an den beiden Linien. Welcher Abstand der Marken zeigt den rechten Winkel?
Häufige Fehler
  • „Die Katheten sind 6 und 8, also ist die Hypotenuse 6 + 8 = 14.“ Addiere Quadrate, nicht Längen: 36 + 64 = 100, also Hypotenuse 10. Nach der Dreiecksungleichung muss sie ohnehin unter 14 liegen.
  • „Eine Leiter von 13, Abstand zur Wand 5: Höhe √(13² + 5²) ≈ 13.9.“ Die Leiter ist die Hypotenuse, also subtrahiere: √(169 − 25) = 12. Eine Kathete kann nie länger sein als die Hypotenuse.
  • „5² + 6² ≠ 9², also versagt der Satz hier.“ Der Satz gilt nur für rechtwinklige Dreiecke. Bei 5, 6, 9 zeigt 81 > 61 ein stumpfwinkliges Dreieck; hier nutzt du die Umkehrung.
Hinweis für LehrkräfteIm koreanischen Lehrplan von 2022 gehört der Satz des Pythagoras in die Mittelschulstufe. Die Erläuterung verlangt von den Lehrkräften, dass die Lernenden ihn durch vielfältige Aktivitäten vermuten und dann begründen, während die Umkehrung anschaulich verstanden und genutzt werden soll, um zu entscheiden, ob drei gegebene Seiten ein rechtwinkliges Dreieck bilden. Der Lehrplan schlägt außerdem vor, die Geschichte des Satzes zu nutzen, um Interesse zu wecken. Das Zählen von Quadraten auf Karopapier passt gut zur Phase der Vermutung. Für die Begründung lässt sich die Umlegung der vier Dreiecke in wenigen Minuten aus Karton schneiden, und Lernende, die beide Anordnungen nebeneinander sehen, brauchen die Algebra selten ein zweites Mal erklärt.
Das Wichtigste
  • Rechtwinkliges Dreieck mit Katheten a, b und Hypotenuse c: a² + b² = c².
  • Beweis: vier Kopien im Quadrat der Seite a + b, zweimal angeordnet.
  • Umkehrung: Bei c² = a² + b² misst der Winkel gegenüber c genau 90°.
  • c² < a² + b² bedeutet spitzwinklig; c² > a² + b² stumpfwinklig (c längste Seite).
Quellen zu diesem Kurs (7)
  • Curriculum: 교육부 고시 제2022-33호 [별책 8] 수학과 교육과정 (ncic.re.kr/inv/org/download.do?year=2022&seq=10003559&orgType=ogi4, PDF read 2026-10-19: 초등학교 3~4학년군 [4수03-08] 이등변삼각형·정삼각형, [4수03-09] 직각삼각형·예각삼각형·둔각삼각형, [4수03-25] 삼각형과 사각형의 내각의 크기의 합을 여러 가지 방법으로 추론; 초등학교 5~6학년군 [6수03-01] 합동·대응점·대응변·대응각, [6수03-14] 삼각형의 넓이(높이가 삼각형의 외부에 있는 것도 다룸); 중학교 1~3학년군 [9수03-03] 삼각형의 작도, [9수03-04] 삼각형의 합동 조건, [9수03-05] 삼각형의 내각과 외각, [9수03-09] 이등변삼각형의 성질을 합동 조건으로 정당화하고 증명이라는 용어 도입, [9수03-12]·[9수03-13] 닮음·닮음비·삼각형의 닮음 조건, [9수03-15] 피타고라스 정리를 추측하고 정당화, 역은 직관적으로 이해하고 직각삼각형 판별에 사용; 용어와 기호 대변, 대각, 내각, 외각, 증명, 닮음비, △ABC, ≡, ∽)
  • Textbook: OpenStax, Contemporary Mathematics, 10.3 Triangles (triangle from three noncollinear points; acute, right, obtuse; side a opposite angle A; hypotenuse and legs; angle sum 180° by a parallel line and alternate interior angles; x, x + 17, 3x − 62 gives 45°, 62°, 73°; SSS, SAS, ASA, AAS; similar triangles, scaling factor; tower shadow 180 ft with a 9 ft truck and 15 ft shadow gives 108 ft; Thales and the pyramid: openstax.org/books/contemporary-mathematics/pages/10-3-triangles)
  • OpenStax Prealgebra 2e, 9.3 Use Properties of Angles, Triangles, and the Pythagorean Theorem (a² + b² = c²; Pythagoras around 500 BCE; 13 ft ladder 5 ft from the wall; 10 inch bracket about 7.1 inches; similar triangles: openstax.org/books/prealgebra-2e/pages/9-3-use-properties-of-angles-triangles-and-the-pythagorean-theorem)
  • 9.4 Use Properties of Rectangles, Triangles, and Trapezoids (A = ½bh from half a rectangle; isosceles and equilateral; equilateral perimeter 93 in: .../pages/9-4-use-properties-of-rectangles-triangles-and-trapezoids)
  • OpenStax Precalculus 2e, 8.2 Non-right Triangles: Law of Cosines (Heron’s formula with semi-perimeter s; sides 10, 15, 7 give s = 16 and area about 29.4; Chicago lot 62.4, 43.5, 34.1 m gives about 711.4 m²: openstax.org/books/precalculus-2e/pages/8-2-non-right-triangles-law-of-cosines)
  • History for story blocks only: Euclid’s Elements, D. E. Joyce edition, Clark University (Book I Prop. 20 triangle inequality and Heron’s shortest-path problem; Prop. 26 and its guide on congruence theorems, SSA ambiguity and side-side-right angle; Prop. 32 exterior angle and angle sum, Proclus corollaries; Prop. 47 and its guide on Old Babylonians ca. 1900 to 1600 BCE, Plimpton 322, the Zhou bi hypotenuse diagram, Proclus; Prop. 48 converse; Book VI Prop. 4 equiangular triangles: mathcs.clarku.edu/~djoyce/elements/bookI/propI47.html)
  • MacTutor History of Mathematics, University of St Andrews, Heron of Alexandria (formula proved in Metrica Book I; eclipse of 13 March 62; side of 720 about 26 5/6: mathshistory.st-andrews.ac.uk/Biographies/Heron/) MacTutor, "Euclid of Alexandria" (born about 325 BC, died about 265 BC; dating for the Elements, about 2,300 years ago: mathshistory.st-andrews.ac.uk/Biographies/Euclid/, checked 2026-10-19).

Abgerufen: 2026-10-19