相似な三角形と拡大率

身長1.6 mの生徒の影が2 m、旗ざおの影が15 mです。高さは1.6 × 15 ÷ 2 = 12 mで、登る必要はありません。

タレスは地上からピラミッドをどう測ったか

背景ミレトスのタレスは紀元前6世紀の人物です。OpenStaxのContemporary Mathematicsには、タレスがエジプトのピラミッドに登らずに高さを求めた話が載っています。彼は、自分の影の先端がピラミッドの影の先端に届く瞬間を待ちました。そのとき、太陽光と自分の体と影は小さな直角三角形を作り、同じ光とピラミッドとその影は大きな直角三角形を作りました。2つの三角形の角は等しいので、辺の比も同じです。そのため、自分の身長と2つの影の長さだけで、ピラミッドの高さを求められました。同じ教科書は、前の単元で証明した二等辺三角形の底角の等しさに気付いた人物としても、タレスを挙げています。

晴れた日の学校で、同じ方法を試せます。身長1.6 mの生徒の影が2 mだとします。同じ時刻に、旗ざおの影は15 mです。日光は校庭のどこでも同じ角度で届くので、生徒と旗ざおはそれぞれ、角が同じ直角三角形をつくります。高さ ÷ 影の長さは、どちらでも同じ値になるはずです。1.6 ÷ 2 = 0.8なので、旗ざおの高さは15 × 0.8 = 12 mです。OpenStaxも同じ計算を、電波塔で行っています。高さ9 ftのトラックの影が15 ftなら、影が180 ftの塔の高さは180 × 9 ÷ 15 = 108 ftです。

生徒が作る三角形と旗ざおが作る三角形は角が等しいので、高さと影の長さの比も等しく、1.6 : 2 = 12 : 15です。二つの図は異なる縮尺で描いてあります。

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ドラッグで回転、スクロールまたはピンチで拡大・縮小。

影の方法です。太陽のスライダーを動かすと影は変わりますが、高さ÷影は棒と塔で一致します。棒から塔の高さを求められます。

相似とは

一方を拡大または縮小すると他方になるとき、二つの図形は相似です。OpenStaxのPrealgebraは簡潔に、形が同じで大きさが違い、一方が他方の縮尺模型であると説明しています。三角形では、二つのことが同時に成り立ちます。対応する角が等しいこと。そして、対応する辺の比がすべて同じで、この比を拡大率ということです。三角形ABCが三角形DEFと相似で拡大率が2なら、DE = 2 × AB、EF = 2 × BC、FD = 2 × CAで、D、E、Fの角はA、B、Cの角とまったく同じです。韓国の本では△ABC ∽ △DEFと書き、対応する辺の比、ここでは1 : 2を相似比といいます。

すべてを測らずに、2つの三角形が相似だと判断するにはどうすればよいでしょうか。ユークリッドの第VI巻の命題4は、角が等しい三角形の辺は比例すると述べています。したがって角が等しければ十分で、内角の和は180°なので、2つの角が等しければ3つ目も等しくなります。これがタレスの使った、2角による判定法です。ほかの2つの判定法は合同条件に対応します。対応する3組の辺の比がすべて等しい場合と、対応する2組の辺の比が等しく、その間の角も等しい場合です。2角による判定法だけは長さを含まないため、影を使う問題で役立ちます。

比例式で辺を求める

二つの三角形が相似だと分かったら、対応する辺の組ごとに分数を一つずつ作り、等号で結びます。危ないのは、対応しない辺を組にしてしまうことです。安全な習慣は、向かいにある角で辺を組にすることです。一方の三角形で直角の向かいにある辺は、もう一方の三角形でも直角の向かいにある辺と組になります。ほかも同様です。△ABC ∽ △DEF、AB = 4、BC = 6、DE = 10とします。すると DE : AB = 10 : 4 = 2.5なので、EF = 6 × 2.5 = 15です。ほかの組も分かっていれば、それで確かめましょう。対応するどの組でも、同じ2.5になるはずです。

面積は拡大率の二乗で増える

拡大率が2なら、どの長さも2倍になりますが、面積は2倍にはなりません。底辺も高さも2倍になるので、底辺 × 高さ ÷ 2は2 × 2 = 4倍になります。拡大率がkなら、面積はk²倍です。幅を3倍にして印刷した写真には、9倍の紙が必要です。周の長さは長さなので、k倍にしかなりません。相似比が2 : 3で、小さい三角形の周が30 cmなら、大きい三角形の周は45 cmです。

身長1.6 mの生徒の影が2 mです。同じ時刻に旗ざおの影が15 mです。旗ざおの高さは？
高さ9 ftのトラックの影が15 ftで、同じ時刻に電波塔の影が180 ftです。塔の高さは？
身長5 ftの人の影が7 ft、木の影が57 ftです。木の高さを小数第一位まで求めましょう。
△ABC ∽ △DEFで、AB = 4、BC = 6、DE = 10です。EFを求めましょう。
二つの三角形は相似で、拡大率は3です。小さい方の面積は5 cm²です。大きい方の面積は？
相似な三角形の相似比は2 : 3で、小さい方の周は30 cmです。大きい方の周を求めましょう。
三角形1の角は50°、70°、三角形2は70°、60°です。相似ですか？
- はい
- いいえ
- 辺が分かる場合だけ
- 両方直角の場合だけ
辺が3、4、5の三角形と、辺が6、8、11の三角形は相似ですか？
- いいえ
- はい、拡大率2です
- はい、拡大率2.2です
- 角だけ等しいです
OpenStaxの例では、一方の三角形の対応する辺4と7が、もう一方の2と3.5に対応します。前者から後者への拡大率は？
- 0.5
- 2
- 0.57
- 1.75
縮尺1 : 5万の地図で二都市の間が6 cmです。実際は何キロメートルですか？

よくある間違い

「拡大率2なので面積も二倍です」 底辺と高さの両方が倍なので2 × 2 = 4倍です。長さはk倍、面積はk²倍です。
「△ABC ∽ △DEFでAB = 4、EF = 10なので2.5倍です」 ABはDEと対応し、EFではありません。文字順や向かいの角で対応を確かめてから割りましょう。
「各辺に同じ長さを足せば相似のままです」 3、4、5に2を足すと5、6、7で、5 ÷ 3、6 ÷ 4、7 ÷ 5は異なります。必要なのは足し算でなく掛け算です。

先生からひとこと韓国の2022年改訂教育課程では、相似は中学校の内容です。相似の意味と相似比についての成就基準と、三角形の相似条件についての成就基準があります。用語一覧には相似比と記号∽が含まれています。また、合同と相似の意味を教える際には、教材やソフトウェアの活用も勧めています。影の測定は屋外の課題に向いています。グループごとに1人の身長と影を測り、次に木や旗ざおの影を測って、グループ間で答えを比べましょう。少しずつ異なる高さが出ることが、測定誤差についての有意義な話し合いにつながります。

ポイント

相似な三角形は対応角が等しく、対応辺の比が一定です。
相似になる判定法は、三組の辺の比が等しいこと、二組の辺の比が等しくその間の角も等しいこと、二つの角が等しいこと（AA）です。
文字の順や向かいの角で辺を対応させます。
拡大率kで長さと周はk倍、面積はk²倍です。

このコースの出典 (7)

Curriculum: 교육부 고시 제2022-33호 [별책 8] 수학과 교육과정 (ncic.re.kr/inv/org/download.do?year=2022&seq=10003559&orgType=ogi4, PDF read 2026-10-19: 초등학교 3~4학년군 [4수03-08] 이등변삼각형·정삼각형, [4수03-09] 직각삼각형·예각삼각형·둔각삼각형, [4수03-25] 삼각형과 사각형의 내각의 크기의 합을 여러 가지 방법으로 추론; 초등학교 5~6학년군 [6수03-01] 합동·대응점·대응변·대응각, [6수03-14] 삼각형의 넓이(높이가 삼각형의 외부에 있는 것도 다룸); 중학교 1~3학년군 [9수03-03] 삼각형의 작도, [9수03-04] 삼각형의 합동 조건, [9수03-05] 삼각형의 내각과 외각, [9수03-09] 이등변삼각형의 성질을 합동 조건으로 정당화하고 증명이라는 용어 도입, [9수03-12]·[9수03-13] 닮음·닮음비·삼각형의 닮음 조건, [9수03-15] 피타고라스 정리를 추측하고 정당화, 역은 직관적으로 이해하고 직각삼각형 판별에 사용; 용어와 기호 대변, 대각, 내각, 외각, 증명, 닮음비, △ABC, ≡, ∽)
Textbook: OpenStax, Contemporary Mathematics, 10.3 Triangles (triangle from three noncollinear points; acute, right, obtuse; side a opposite angle A; hypotenuse and legs; angle sum 180° by a parallel line and alternate interior angles; x, x + 17, 3x − 62 gives 45°, 62°, 73°; SSS, SAS, ASA, AAS; similar triangles, scaling factor; tower shadow 180 ft with a 9 ft truck and 15 ft shadow gives 108 ft; Thales and the pyramid: openstax.org/books/contemporary-mathematics/pages/10-3-triangles)
OpenStax Prealgebra 2e, 9.3 Use Properties of Angles, Triangles, and the Pythagorean Theorem (a² + b² = c²; Pythagoras around 500 BCE; 13 ft ladder 5 ft from the wall; 10 inch bracket about 7.1 inches; similar triangles: openstax.org/books/prealgebra-2e/pages/9-3-use-properties-of-angles-triangles-and-the-pythagorean-theorem)
9.4 Use Properties of Rectangles, Triangles, and Trapezoids (A = ½bh from half a rectangle; isosceles and equilateral; equilateral perimeter 93 in: .../pages/9-4-use-properties-of-rectangles-triangles-and-trapezoids)
OpenStax Precalculus 2e, 8.2 Non-right Triangles: Law of Cosines (Heron’s formula with semi-perimeter s; sides 10, 15, 7 give s = 16 and area about 29.4; Chicago lot 62.4, 43.5, 34.1 m gives about 711.4 m²: openstax.org/books/precalculus-2e/pages/8-2-non-right-triangles-law-of-cosines)
History for story blocks only: Euclid’s Elements, D. E. Joyce edition, Clark University (Book I Prop. 20 triangle inequality and Heron’s shortest-path problem; Prop. 26 and its guide on congruence theorems, SSA ambiguity and side-side-right angle; Prop. 32 exterior angle and angle sum, Proclus corollaries; Prop. 47 and its guide on Old Babylonians ca. 1900 to 1600 BCE, Plimpton 322, the Zhou bi hypotenuse diagram, Proclus; Prop. 48 converse; Book VI Prop. 4 equiangular triangles: mathcs.clarku.edu/~djoyce/elements/bookI/propI47.html)
MacTutor History of Mathematics, University of St Andrews, Heron of Alexandria (formula proved in Metrica Book I; eclipse of 13 March 62; side of 720 about 26 5/6: mathshistory.st-andrews.ac.uk/Biographies/Heron/) MacTutor, "Euclid of Alexandria" (born about 325 BC, died about 265 BC; dating for the Elements, about 2,300 years ago: mathshistory.st-andrews.ac.uk/Biographies/Euclid/, checked 2026-10-19).

確認日: 2026-10-19