Gelijkvormige driehoeken en schaal

Een leerling van 1.6 m heeft een schaduw van 2 m, terwijl de schaduw van de schoolvlaggenmast 15 m is. De mast is 1.6 × 15 ÷ 2 = 12 m hoog, zonder dat iemand erop hoefde te klimmen.

Hoe Thales een piramide vanaf de grond mat

Je kunt deze truc op een zonnige schooldag herhalen. Een leerling van 1.6 m heeft een schaduw van 2 m. Tegelijk is de schaduw van de vlaggenmast 15 m lang. De zonnestralen vallen overal op het schoolplein onder dezelfde hoek. Leerling en mast vormen dus elk een rechthoekige driehoek met dezelfde hoeken. Hoogte gedeeld door schaduw moet voor beide gelijk zijn: 1.6 ÷ 2 = 0.8. De mast is dus 15 × 0.8 = 12 m. OpenStax rekent hetzelfde uit voor een radiotoren: een vrachtwagen van 9 ft met een schaduw van 15 ft betekent dat een toren met een schaduw van 180 ft een hoogte heeft van 180 × 9 ÷ 15 = 108 ft.

Wat gelijkvormig betekent

Twee figuren zijn gelijkvormig als de ene een vergroting of verkleining van de andere is. OpenStax Prealgebra zegt het eenvoudig: dezelfde vorm, een andere grootte, de ene is een schaalmodel van de andere. Voor driehoeken betekent dat twee dingen tegelijk. Overeenkomstige hoeken zijn gelijk. En overeenkomstige zijden hebben allemaal dezelfde verhouding, de schaalfactor. Is driehoek ABC gelijkvormig met driehoek DEF met schaalfactor 2, dan is DE = 2 × AB, EF = 2 × BC en FD = 2 × CA, terwijl de hoeken bij D, E en F precies die bij A, B en C zijn. In Koreaanse boeken schrijft men dit als △ABC ∽ △DEF, en de verhouding van overeenkomstige zijden, hier 1 : 2, heet de gelijkvormigheidsverhouding.

Hoe bepaal je zonder alles te meten of twee driehoeken gelijkvormig zijn? Euclides’ Propositie 4 van Boek VI zegt dat driehoeken met gelijke hoeken evenredige zijden hebben. Gelijke hoeken zijn dus genoeg, en omdat de hoekensom 180° is, bepalen twee gelijke hoeken de derde al. Dat is de hoek-hoek-voorwaarde, die Thales gebruikte. Twee andere voorwaarden lijken op die voor congruentie: alle drie de paren zijden met dezelfde verhouding, of twee paren zijden met dezelfde verhouding en een gelijke ingesloten hoek. Alleen de hoek-hoek-voorwaarde bevat geen lengte, en daarom pak je die bij schaduwen.

Een ontbrekende zijde vinden met een evenredigheid

Als je weet dat twee driehoeken gelijkvormig zijn, schrijf je voor elk paar overeenkomstige zijden een breuk op en stel je die breuken aan elkaar gelijk. Het gevaar is dat je de verkeerde zijden aan elkaar koppelt. Een veilige gewoonte is zijden te koppelen via de hoeken waartegenover ze liggen: de zijde tegenover de rechte hoek in de ene driehoek hoort bij de zijde tegenover de rechte hoek in de andere driehoek, enzovoort. Stel △ABC ∽ △DEF, AB = 4, BC = 6 en DE = 10. Dan is DE : AB = 10 : 4 = 2.5, dus EF = 6 × 2.5 = 15. Controleer met het andere paar als je dat kent; elk overeenkomstig paar moet dezelfde 2.5 geven.

Oppervlakten groeien met het kwadraat van de schaal

Een schaalfactor van 2 verdubbelt elke lengte, maar niet de oppervlakte. Zowel de basis als de hoogte verdubbelen, zodat basis × hoogte ÷ 2 met 2 × 2 = 4 wordt vermenigvuldigd. Bij schaalfactor k worden oppervlakten met k² vermenigvuldigd. Een foto die drie keer zo breed wordt afgedrukt, gebruikt negen keer zoveel papier. Omtrekken zijn lengtes en groeien maar k keer: bij gelijkvormige driehoeken met een gelijkvormigheidsverhouding van 2 : 3 en een kleinere omtrek van 30 cm is de grotere omtrek 45 cm.