Congruente driehoeken: SSS, SAS, ASA en waarom SSA niet werkt

Twee driehoeken kunnen allebei een hoek van 30°, een zijde van 10 en een zijde van 6 hebben en toch verschillen. De derde zijde is bij de ene ongeveer 11.98 en bij de andere ongeveer 5.34.

Maken drie willekeurige overeenkomende onderdelen twee driehoeken congruent?

Een driehoek heeft zes maten: drie zijden en drie hoeken. Alle zes controleren om te laten zien dat twee driehoeken gelijk zijn, is omslachtig, dus zoekt de meetkunde snelkoppelingen: drie goed gekozen onderdelen die de andere drie vastleggen. Een veelvoorkomende gedachte is dat elke drie onderdelen voldoen. Dat klinkt redelijk, maar het klopt op twee manieren niet. Drie gelijke hoeken leggen de grootte niet vast, en twee zijden met een hoek die er niet tussen ligt leggen de vorm niet altijd vast. Dit hoofdstuk haalt beide mislukkingen uit elkaar, en wat overblijft zijn de voorwaarden die wel werken.

Eerst wat congruent betekent. Volgens OpenStax zijn twee driehoeken congruent als je de ene kunt oppakken en zo op de andere kunt leggen dat ze samenvallen, zo nodig gedraaid of omgeklapt. Dan zijn overeenkomstige zijden gelijk en overeenkomstige hoeken gelijk. Die overeenkomst is belangrijk. △ABC ≡ △DEF belooft dat A naar D gaat, B naar E en C naar F, dus AB = DE, BC = EF, CA = FD en hoek A = hoek D enzovoort. Koreaanse leerboeken gebruiken het teken ≡; OpenStax en veel Engelse boeken schrijven ≅ voor hetzelfde idee.

Gelijke hoeken bepalen de vorm maar niet de grootte

Neem een tekendriehoek van 30°, 60°, 90° en een gigantische driehoek van 30°, 60°, 90° die met krijt op het schoolplein is getekend. Alle drie hoeken komen overeen en niemand zou ze identiek noemen. Hoek-hoek-hoek legt alleen de vorm vast. Die twee driehoeken zijn gelijkvormig, het onderwerp van het volgende hoofdstuk, maar niet congruent. Om de grootte vast te leggen, moet minstens één lengte deel van de voorwaarde zijn.

Twee zijden en een hoek die niet tussen die zijden ligt

Nu de subtiele mislukking. Leg hoek A vast op 30°, maak zijde AB 10 eenheden lang en eis dat zijde BC 6 is. Draai BC rond B als een passerarm. De punt kan op twee plaatsen op de basislijn terechtkomen, zoals de figuur laat zien. De ene driehoek heeft een derde zijde AC van ongeveer 11.98 en hoeken van ongeveer 30°, 93.6° en 56.4°. De andere heeft AC van ongeveer 5.34 en hoeken van ongeveer 30°, 26.4° en 123.6°. Beide hebben een hoek van 30°, een zijde van 10 en een zijde van 6, en het zijn duidelijk verschillende driehoeken. Zijde-zijde-hoek, met de hoek niet tussen de twee zijden, is dus geen congruentievoorwaarde.

In één geval is er redding. Als de zijde tegenover de gegeven hoek minstens zo lang is als de andere gegeven zijde, kan de draaiende arm maar één keer aan de juiste kant landen en ligt de driehoek vast. Een rechte hoek is het bekendste voorbeeld: als de gegeven hoek 90° is, is de zijde ertegenover de schuine zijde, de langste zijde, dus een rechthoekige driehoek ligt vast door zijn schuine zijde en één rechthoekszijde. Buiten zulke gevallen zijn twee zijden en een niet-ingesloten hoek niet genoeg.

Drie voorwaarden die wel werken

Drie combinaties leggen een driehoek wel volledig vast. Drie zijden (SSS): zijn alle zijden van de ene driehoek gelijk aan de overeenkomstige zijden van de andere, dan zijn ze congruent. Twee zijden en de ingesloten hoek (SAS): de hoek zet beide zijden vast en legt daarmee de derde zijde vast. Twee hoeken en de ingesloten zijde (ASA) werken ook. Twee hoeken en een andere zijde zijn eveneens voldoende, want de hoekensom bepaalt de derde hoek. De zijde ligt dan alsnog tussen twee bekende hoeken. OpenStax noemt dit laatste geval afzonderlijk AAS. Let op het patroon bij SAS en ASA: de gegeven hoek of zijde ligt tussen de andere twee, nooit ernaast.

Met SAS bewijzen dat de basishoeken gelijk zijn

Hier is het klassieke eerste bewijs. In de gelijkbenige driehoek ABC is AB = AC. Teken de bissectrice van hoek A en noem het punt waar die BC snijdt D. Vergelijk de driehoeken ABD en ACD. AB = AC volgens het gegeven. Hoek BAD = hoek CAD omdat AD hoek A middendoor deelt. En AD is een zijde van beide driehoeken. Twee zijden en de ingesloten hoek komen overeen, dus volgens SAS zijn de driehoeken congruent en zijn de overeenkomstige hoeken B en C gelijk. Een papieren gelijkbenige driehoek langs die bissectrice vouwen laat hetzelfde zien; het bewijs verklaart waarom de vouw altijd past.