Kongruente Dreiecke: SSS, SAS, ASA und warum SSA scheitert

Zwei Dreiecke können einen Winkel von 30°, eine Seite von 10 und eine von 6 gemeinsam haben und doch verschieden sein: Die dritte Seite ist etwa 11.98 beziehungsweise 5.34.

Machen drei beliebige übereinstimmende Stücke Dreiecke kongruent?

Ein Dreieck hat sechs Maße: drei Seiten und drei Winkel. Alle zu prüfen ist mühsam. Deshalb suchen wir Abkürzungen: drei gut gewählte Stücke, die die anderen festlegen. Oft heißt es, beliebige drei reichten. Das klingt vernünftig, scheitert aber doppelt. Drei gleiche Winkel legen die Größe nicht fest; zwei Seiten mit einem nicht eingeschlossenen Winkel bestimmen die Form nicht immer eindeutig. Hier untersuchst du beide Fehlschlüsse und die Bedingungen, die funktionieren.

Zuerst: Was heißt kongruent? Laut OpenStax kannst du ein Dreieck auf das andere legen, sodass sie sich genau decken, gegebenenfalls gedreht oder gespiegelt. Entsprechende Seiten und Winkel sind dann gleich. Die Zuordnung ist wichtig: △ABC ≡ △DEF bedeutet A zu D, B zu E, C zu F, also AB = DE, BC = EF, CA = FD, Winkel A = Winkel D und so weiter. Koreanische Schulbücher nutzen ≡, OpenStax und viele englische Bücher ≅ für dieselbe Idee.

Gleiche Winkel bestimmen die Form, nicht die Größe

Vergleiche ein Zeichendreieck mit 30°, 60°, 90° und ein riesiges Kreidedreieck mit 30°, 60°, 90° auf dem Schulhof. Alle Winkel stimmen überein, aber niemand nennt sie identisch. Winkel-Winkel-Winkel legt nur die Form fest. Sie sind ähnlich, wie du gleich lernst, aber nicht kongruent. Um die Größe festzulegen, muss mindestens eine Länge gegeben sein.

Zwei Seiten und ein nicht eingeschlossener Winkel

Nun der weniger auffällige Fehler. Setze A auf 30°, AB auf 10 Einheiten und verlange BC = 6. Schwenke BC um B wie einen Zirkelarm. Seine Spitze kann die Grundgerade an zwei Stellen treffen. Ein Dreieck hat AC von etwa 11.98 und Winkel von etwa 30°, 93.6° und 56.4°. Das andere hat AC von etwa 5.34 und Winkel von etwa 30°, 26.4° und 123.6°. Beide haben 30°, eine Seite von 10 und eine von 6, sind aber deutlich verschieden. Seite-Seite-Winkel mit nicht eingeschlossenem Winkel ist also kein allgemeiner Kongruenzsatz.

In einem Fall funktioniert es doch: Ist die dem gegebenen Winkel gegenüberliegende Seite mindestens so lang wie die andere gegebene, trifft der schwenkende Arm auf der richtigen Seite nur einmal. Ein rechter Winkel ist das bekannteste Beispiel: Bei 90° liegt gegenüber die Hypotenuse, die längste Seite. Hypotenuse und eine Kathete bestimmen daher ein rechtwinkliges Dreieck eindeutig. Außerhalb solcher Fälle reichen zwei Seiten und ein nicht eingeschlossener Winkel nicht.

Drei Bedingungen, die funktionieren

Drei Kombinationen bestimmen das Dreieck eindeutig. Drei Seiten (SSS): Stimmen entsprechende Seiten überein, sind die Dreiecke kongruent. Zwei Seiten und eingeschlossener Winkel (SAS): Der Winkel legt ihre Lage fest und erzwingt die dritte Seite. Zwei Winkel und eingeschlossene Seite (ASA). Zwei Winkel mit einer anderen Seite reichen ebenfalls: Die Winkelsumme liefert den dritten Winkel, sodass die Seite doch zwischen bekannten Winkeln liegt. OpenStax führt das getrennt als AAS. Das Muster bei SAS und ASA: Der gegebene Winkel oder die gegebene Seite liegt zwischen den anderen beiden, nicht daneben.

Mit SAS gleiche Basiswinkel beweisen

Der klassische erste Beweis: Im gleichschenkligen ABC gilt AB = AC. Zeichne die Winkelhalbierende von A; sie trifft BC in D. Vergleiche ABD und ACD. AB = AC nach Voraussetzung. Winkel BAD = Winkel CAD, weil AD A halbiert. AD ist gemeinsame Seite. Zwei Seiten und eingeschlossener Winkel stimmen überein, also sind die Dreiecke nach SAS kongruent. Die entsprechenden Winkel B und C sind gleich. Falten entlang dieser Halbierenden zeigt dasselbe; der Beweis erklärt, warum es immer passt.