Segitiga kongruen: SSS, SAS, ASA dan mengapa SSA gagal

Dua segitiga dapat memiliki sudut 30°, sisi 10, dan sisi 6, tetapi tetap berbeda: sisi ketiganya sekitar 11.98 pada yang satu dan sekitar 5.34 pada yang lain.

Apakah tiga bagian yang sama selalu membuat dua segitiga kongruen?

Segitiga memiliki enam ukuran, tiga sisi dan tiga sudut. Memeriksa keenamnya untuk menunjukkan dua segitiga identik cukup merepotkan, sehingga geometri mencari jalan pintas: tiga bagian yang dipilih dengan tepat dan menentukan tiga bagian lainnya. Anggapan umum adalah sembarang tiga bagian sudah cukup. Kedengarannya masuk akal, tetapi keliru dalam dua hal. Tiga sudut sama tidak menentukan ukuran, dan dua sisi dengan sudut yang tidak diapitnya tidak selalu menentukan bentuk. Unit ini menguraikan kedua kegagalan itu, dan yang tersisa adalah syarat yang benar-benar bekerja.

Pertama, apa arti kongruen. OpenStax mengatakan dua segitiga kongruen jika kamu dapat mengangkat yang satu dan meletakkannya di atas yang lain sehingga keduanya berimpit, dengan memutar atau membaliknya bila perlu. Maka sisi-sisi yang bersesuaian sama panjang dan sudut-sudut yang bersesuaian sama besar. Kesesuaian itu penting. Menulis △ABC ≡ △DEF menjanjikan bahwa A berpasangan dengan D, B dengan E, dan C dengan F, sehingga AB = DE, BC = EF, CA = FD, dan sudut A = sudut D, dan seterusnya. Buku pelajaran Korea memakai tanda ≡; OpenStax dan banyak buku berbahasa Inggris menulis ≅ untuk gagasan yang sama.

Sudut yang sama menentukan bentuk tetapi tidak ukuran

Ambil penggaris segitiga 30°, 60°, 90° dan segitiga raksasa 30°, 60°, 90° yang digambar dengan kapur di lapangan bermain. Ketiga sudutnya sama, tetapi tidak ada yang akan menyebut keduanya identik. Sudut-sudut-sudut hanya menentukan bentuk. Kedua segitiga itu sebangun, materi unit berikutnya, tetapi tidak kongruen. Untuk menentukan ukuran, setidaknya satu panjang harus menjadi bagian dari syarat.

Dua sisi dan sudut yang tidak diapit keduanya

Sekarang kegagalan yang lebih halus. Tetapkan sudut A sebesar 30°, buat sisi AB sepanjang 10 satuan, dan minta sisi BC sepanjang 6. Ayunkan BC mengelilingi B seperti kaki jangka. Ujungnya dapat mencapai garis alas di dua tempat, seperti diperlihatkan gambar. Satu segitiga memiliki sisi ketiga AC sekitar 11.98 dan sudut sekitar 30°, 93.6°, serta 56.4°. Segitiga lain memiliki AC sekitar 5.34 dan sudut sekitar 30°, 26.4°, serta 123.6°. Keduanya memiliki sudut 30°, sisi 10, dan sisi 6, tetapi jelas merupakan segitiga berbeda. Jadi sisi-sisi-sudut, dengan sudut tidak diapit kedua sisi, bukan syarat kekongruenan.

Ada satu penyelamat dalam satu kasus. Jika sisi di hadapan sudut yang diberikan setidaknya sama panjang dengan sisi lain yang diberikan, lengan yang berayun hanya dapat mendarat satu kali pada sisi yang benar, dan segitiga itu tertentu. Sudut siku-siku adalah contoh yang paling dikenal: ketika sudut yang diberikan 90°, sisi di hadapannya adalah sisi miring, sisi terpanjang, sehingga segitiga siku-siku ditentukan oleh sisi miring dan satu sisi tegaknya. Di luar kasus seperti itu, dua sisi dan sudut yang tidak diapit tidak cukup.

Tiga syarat yang berhasil

Tiga kombinasi menentukan segitiga sepenuhnya. Tiga sisi (SSS): jika ketiga sisi satu segitiga sama dengan sisi bersesuaian segitiga lain, kedua segitiga kongruen. Dua sisi dan sudut yang diapitnya (SAS): sudut apit mengunci kedua sisi pada posisinya, sehingga sisi ketiga ditentukan. Dua sudut dan sisi yang diapitnya (ASA). Dua sudut dan sisi lain juga cukup, karena jumlah sudut sudah memberikan sudut ketiga, sehingga sisi itu akhirnya terletak di antara dua sudut yang diketahui. OpenStax mencantumkan kombinasi terakhir secara terpisah sebagai AAS. Perhatikan pola SAS dan ASA: sudut atau sisi yang diberikan terletak di antara dua bagian lainnya, tidak pernah di sampingnya.

Membuktikan sudut alas sama dengan SAS

Berikut pembuktian awal yang klasik. Pada segitiga sama kaki ABC, misalkan AB = AC. Tarik garis pembagi sudut A dan sebut titik pertemuannya dengan BC sebagai D. Bandingkan segitiga ABD dan ACD. AB = AC sesuai asumsi. Sudut BAD = sudut CAD karena AD membagi sudut A menjadi dua sama besar. AD juga merupakan sisi kedua segitiga. Dua sisi dan sudut apitnya bersesuaian, sehingga menurut SAS kedua segitiga kongruen, dan sudut bersesuaian B serta C sama besar. Melipat segitiga sama kaki dari kertas sepanjang garis bagi itu memperlihatkan hal sama; pembuktian menjelaskan mengapa lipatannya selalu berimpit.