Равные треугольники: SSS, SAS, ASA и почему SSA недостаточно
Два треугольника могут иметь угол 30° и стороны 10 и 6, но отличаться: третья сторона около 11.98 в одном и около 5.34 в другом.
Любые ли три совпадающих элемента гарантируют равенство?
У треугольника шесть характеристик: три стороны и три угла. Проверять все шесть, чтобы установить равенство двух треугольников, утомительно. Геометрия ищет короткие пути: три удачно выбранных элемента, определяющие остальные три. Часто думают, что подойдут любые три. Звучит разумно, но ошибочно сразу по двум причинам. Три равных угла не задают размер, а две стороны и угол не между ними не всегда определяют форму. В этом уроке разбираются обе неудачи, после чего остаются работающие признаки.
Сначала о равенстве треугольников. По OpenStax, два треугольника равны, если один можно наложить на другой до полного совпадения, при необходимости повернув или перевернув. Тогда соответствующие стороны и соответствующие углы равны. Соответствие важно. Запись △ABC ≡ △DEF означает, что A соответствует D, B соответствует E, C соответствует F, поэтому AB = DE, BC = EF, CA = FD, угол A = углу D и так далее. В корейских учебниках используют знак ≡, а OpenStax и многие английские книги обозначают то же самое знаком ≅.
Равные углы задают форму, но не размер
Возьми угольник с углами 30°, 60°, 90° и огромный треугольник 30°, 60°, 90°, начерченный мелом во дворе. Все три угла совпадают, но никто не назовёт фигуры одинаковыми. Три угла определяют только форму. Эти треугольники подобны, чему посвящён следующий урок, но не равны. Чтобы задать размер, в условии должна быть хотя бы одна длина.
Две стороны и угол не между ними
Теперь более тонкая неудача. Зафиксируй угол A равным 30°, сторону AB длиной 10 единиц и потребуй BC = 6. Поворачивай BC вокруг B, как ножку циркуля. Её конец может попасть на прямую основания в двух местах, как показано на рисунке. У одного треугольника третья сторона AC около 11.98, а углы около 30°, 93.6° и 56.4°. У другого AC около 5.34, а углы около 30°, 26.4° и 123.6°. У обоих есть угол 30°, сторона 10 и сторона 6, но треугольники явно разные. Значит, две стороны и угол не между ними не являются признаком равенства.
Есть спасительный случай: если сторона напротив заданного угла не короче другой заданной стороны, вращающийся отрезок пересекает нужную полупрямую лишь раз, и треугольник определён однозначно. Известный пример — прямой угол 90°: напротив него лежит наибольшая сторона, гипотенуза. Прямоугольный треугольник определён гипотенузой и катетом. Вне таких случаев двух сторон и неприлежащего угла мало.
Три работающих признака
Три сочетания полностью определяют треугольник. Три стороны (SSS): если все три стороны одного треугольника равны соответствующим сторонам другого, треугольники равны. Две стороны и угол между ними (SAS): заключённый между сторонами угол фиксирует их положение и определяет третью сторону. Два угла и сторона между ними (ASA). Два угла и другая сторона тоже подходят: сумма углов даёт третий угол, и сторона всё равно оказывается между двумя известными углами. OpenStax выделяет последний случай отдельно как AAS. Заметь общую черту SAS и ASA: заданный угол или сторона находится между двумя другими элементами, а не сбоку от них.
| SSS | Три стороны равны |
| SAS | Равны две стороны и угол между ними |
| ASA | Равны два угла и сторона между ними |
| SSA | Не общий признак: возможны два треугольника |
| AAA | Только одинаковая форма: подобие, не равенство |
Равенство углов при основании через SAS
Вот классическое первое доказательство. В равнобедренном треугольнике ABC пусть AB = AC. Проведи биссектрису угла A и обозначь буквой D точку, где она пересекает BC. Сравни треугольники ABD и ACD. По условию AB = AC. Угол BAD равен углу CAD, поскольку AD делит угол A пополам. Сторона AD общая для обоих треугольников. Две стороны и угол между ними совпадают, значит, по SAS треугольники равны, а соответствующие углы B и C равны. Если сложить бумажный равнобедренный треугольник по этой биссектрисе, получится то же самое; доказательство объясняет, почему две половины всегда совпадают.
Перетащи, чтобы повернуть. Для изменения масштаба прокрути колёсико или сведи и разведи два пальца.
- Какое условие НЕ гарантирует равенство в общем случае?
- две стороны и угол не между ними
- три стороны
- две стороны и угол между ними
- два угла и сторона между ними
- У обоих треугольников углы 40°, 60°, 80°. Они:
- подобны, но не обязательно равны
- всегда равны
- никогда не подобны
- прямоугольные
- AB = DE, BC = EF, CA = FD. Какой признак доказывает △ABC ≡ △DEF?
- SSS
- SAS
- ASA
- нет
- AB = DE, угол B = углу E, BC = EF. Какой признак подходит?
- SAS
- SSA
- ASA
- SSS
- Угол A = углу D, AB = DE, угол B = углу E. Какой признак подходит?
- ASA
- SAS
- SSS
- AAA
- △ABC ≡ △DEF, AB = 7 см. Найди DE.
- △PQR ≡ △XYZ, угол P = 50°, угол Q = 70°. Найди угол Z.
- В примере с SSA угол A = 30°, AB = 10, BC = 6. Найди большую из двух возможных длин AC с точностью до двух знаков после точки.
- В равнобедренном треугольнике ABC AB = AC, а биссектриса угла A пересекает BC в точке D. Какой признак показывает, что △ABD ≡ △ACD?
- SAS
- SSA
- AAA
- ASA
- Гипотенуза прямоугольного треугольника 13, один катет 5. У другого прямоугольного треугольника такие же гипотенуза и катет. Равны ли треугольники?
- Да
- Нет
- Только если известен второй катет
- Только если оба равнобедренные
- «Две стороны и угол равны, значит, треугольники равны». Только если угол лежит между этими сторонами. Иначе окружность циркуля может дважды пересечь прямую основания, и подойдут два разных треугольника, как в примере с 30°, 10 и 6.
- «△ABC ≡ △DEF, значит, AB = EF». Порядок букв задаёт соответствие: A соответствует D, B — E, поэтому AB соответствует DE, а не EF. Сначала запиши соответствие, потом выписывай равные элементы.
- «Все три угла совпадают, значит, треугольники равны». Равные углы дают одинаковую форму при любом размере. Угольник и треугольник, начерченный мелом на площадке, могут иметь все углы одинаковыми. Это и есть подобие.
- Равные треугольники полностью совмещаются; соответствующие стороны и углы равны.
- Признаки: SSS, SAS (угол между сторонами), ASA (сторона между углами); AAS следует из ASA.
- SSA в общем случае не работает: возможны два треугольника. AAA даёт лишь подобие.
- Порядок в △ABC ≡ △DEF задаёт соответствие элементов.
Источники курса (7)
- Curriculum: 교육부 고시 제2022-33호 [별책 8] 수학과 교육과정 (ncic.re.kr/inv/org/download.do?year=2022&seq=10003559&orgType=ogi4, PDF read 2026-10-19: 초등학교 3~4학년군 [4수03-08] 이등변삼각형·정삼각형, [4수03-09] 직각삼각형·예각삼각형·둔각삼각형, [4수03-25] 삼각형과 사각형의 내각의 크기의 합을 여러 가지 방법으로 추론; 초등학교 5~6학년군 [6수03-01] 합동·대응점·대응변·대응각, [6수03-14] 삼각형의 넓이(높이가 삼각형의 외부에 있는 것도 다룸); 중학교 1~3학년군 [9수03-03] 삼각형의 작도, [9수03-04] 삼각형의 합동 조건, [9수03-05] 삼각형의 내각과 외각, [9수03-09] 이등변삼각형의 성질을 합동 조건으로 정당화하고 증명이라는 용어 도입, [9수03-12]·[9수03-13] 닮음·닮음비·삼각형의 닮음 조건, [9수03-15] 피타고라스 정리를 추측하고 정당화, 역은 직관적으로 이해하고 직각삼각형 판별에 사용; 용어와 기호 대변, 대각, 내각, 외각, 증명, 닮음비, △ABC, ≡, ∽)
- Textbook: OpenStax, Contemporary Mathematics, 10.3 Triangles (triangle from three noncollinear points; acute, right, obtuse; side a opposite angle A; hypotenuse and legs; angle sum 180° by a parallel line and alternate interior angles; x, x + 17, 3x − 62 gives 45°, 62°, 73°; SSS, SAS, ASA, AAS; similar triangles, scaling factor; tower shadow 180 ft with a 9 ft truck and 15 ft shadow gives 108 ft; Thales and the pyramid: openstax.org/books/contemporary-mathematics/pages/10-3-triangles)
- OpenStax Prealgebra 2e, 9.3 Use Properties of Angles, Triangles, and the Pythagorean Theorem (a² + b² = c²; Pythagoras around 500 BCE; 13 ft ladder 5 ft from the wall; 10 inch bracket about 7.1 inches; similar triangles: openstax.org/books/prealgebra-2e/pages/9-3-use-properties-of-angles-triangles-and-the-pythagorean-theorem)
- 9.4 Use Properties of Rectangles, Triangles, and Trapezoids (A = ½bh from half a rectangle; isosceles and equilateral; equilateral perimeter 93 in: .../pages/9-4-use-properties-of-rectangles-triangles-and-trapezoids)
- OpenStax Precalculus 2e, 8.2 Non-right Triangles: Law of Cosines (Heron’s formula with semi-perimeter s; sides 10, 15, 7 give s = 16 and area about 29.4; Chicago lot 62.4, 43.5, 34.1 m gives about 711.4 m²: openstax.org/books/precalculus-2e/pages/8-2-non-right-triangles-law-of-cosines)
- History for story blocks only: Euclid’s Elements, D. E. Joyce edition, Clark University (Book I Prop. 20 triangle inequality and Heron’s shortest-path problem; Prop. 26 and its guide on congruence theorems, SSA ambiguity and side-side-right angle; Prop. 32 exterior angle and angle sum, Proclus corollaries; Prop. 47 and its guide on Old Babylonians ca. 1900 to 1600 BCE, Plimpton 322, the Zhou bi hypotenuse diagram, Proclus; Prop. 48 converse; Book VI Prop. 4 equiangular triangles: mathcs.clarku.edu/~djoyce/elements/bookI/propI47.html)
- MacTutor History of Mathematics, University of St Andrews, Heron of Alexandria (formula proved in Metrica Book I; eclipse of 13 March 62; side of 720 about 26 5/6: mathshistory.st-andrews.ac.uk/Biographies/Heron/) MacTutor, "Euclid of Alexandria" (born about 325 BC, died about 265 BC; dating for the Elements, about 2,300 years ago: mathshistory.st-andrews.ac.uk/Biographies/Euclid/, checked 2026-10-19).
Проверено: 2026-10-19