edubun
Русский
English한국어EspañolPortuguêsFrançaisDeutschItalianoNederlandsРусскийBahasa Indonesia日本語
Главная›Геометрия и чертежи›Треугольники

Подобные треугольники и масштаб

Ученик ростом 1.6 м отбрасывает тень 2 м, а школьный флагшток — 15 м. Высота флагштока 1.6 × 15 ÷ 2 = 12 м, и взбираться на него не пришлось.

Как Фалес измерил пирамиду с земли

КонтекстФалес Милетский жил в шестом веке до н. э. OpenStax Contemporary Mathematics рассказывает, как он нашёл высоту египетской пирамиды, не поднимаясь на неё. Он дождался момента, когда конец его тени совпал с концом тени пирамиды. Тогда солнечные лучи, его тело и тень образовали маленький прямоугольный треугольник, а те же лучи с пирамидой и её тенью — большой. У треугольников были одинаковые углы, поэтому стороны находились в одной пропорции. Его роста и длин двух теней хватило, чтобы вычислить высоту пирамиды. Та же книга приписывает Фалесу наблюдение, что углы при основании равнобедренного треугольника равны: это ты доказал в прошлом уроке.

Ты можешь повторить этот приём солнечным днём в школе. Ученик ростом 1.6 м отбрасывает тень длиной 2 м. В тот же момент тень флагштока имеет длину 15 м. Солнечные лучи падают под одинаковым углом по всему двору, поэтому ученик и флагшток образуют прямоугольные треугольники с одинаковыми углами. Отношение высоты к тени одинаково: 1.6 ÷ 2 = 0.8, значит, высота флагштока 15 × 0.8 = 12 м. OpenStax выполняет тот же расчёт для радиовышки: грузовик высотой 9 футов с тенью 15 футов означает, что вышка с тенью 180 футов имеет высоту 180 × 9 ÷ 15 = 108 футов.

У треугольников ученика и флагштока одинаковые углы, поэтому высота и тень находятся в одном отношении: 1.6 : 2 = 12 : 15. Рисунки выполнены в разных масштабах.
Загрузка

Перетащи, чтобы повернуть. Для изменения масштаба прокрути колёсико или сведи и разведи два пальца.

Метод теней. Двигай ползунок солнца: обе тени меняются, но высота ÷ тень остаётся одинаковой для палки и башни, и панель находит высоту башни по палке.

Что значит подобие

Фигуры подобны, если одна получается увеличением или уменьшением другой. По OpenStax Prealgebra, это одна и та же форма разного размера: одна фигура — масштабная модель другой. Для треугольников это означает сразу две вещи. Соответствующие углы равны. А все соответствующие стороны находятся в одном отношении, которое называют коэффициентом подобия. Если треугольник ABC подобен треугольнику DEF с коэффициентом 2, то DE = 2 × AB, EF = 2 × BC и FD = 2 × CA, а углы при D, E и F в точности равны углам при A, B и C. В корейских книгах это записывают △ABC ∽ △DEF, а отношение соответствующих сторон, здесь 1 : 2, называют отношением подобия.

Как установить подобие треугольников, не измеряя всё? Предложение 4 книги VI Евклида утверждает, что у треугольников с равными углами стороны пропорциональны. Значит, равных углов достаточно; поскольку сумма углов 180°, два равных угла уже определяют третий. Это признак по двум углам, использованный Фалесом. Ещё два признака повторяют признаки равенства: все три пары сторон в одном отношении либо две пары сторон в одном отношении и равный угол между ними. Только признак по двум углам не содержит длин, поэтому именно его удобно применять к теням.

Поиск неизвестной стороны через пропорцию

Когда подобие установлено, запиши по одной дроби для каждой пары соответствующих сторон и приравняй их. Опасность в том, что можно сопоставить не те стороны. Надёжная привычка — сопоставлять стороны по углам, напротив которых они лежат: сторона против прямого угла одного треугольника соответствует стороне против прямого угла другого, и так далее. Пусть △ABC ∽ △DEF, AB = 4, BC = 6, DE = 10. Тогда DE : AB = 10 : 4 = 2.5, значит, EF = 6 × 2.5 = 15. Проверь по другой паре, если она известна: каждая пара соответствующих сторон должна давать те же 2.5.

Площади растут как квадрат масштаба

Коэффициент подобия 2 удваивает все длины, но не площадь. Основание удваивается и высота удваивается, поэтому основание × высота ÷ 2 увеличивается в 2 × 2 = 4 раза. При коэффициенте k площади увеличиваются в k² раз. Для фотографии, напечатанной втрое шире, нужно в девять раз больше бумаги. Периметры, как любые длины, увеличиваются лишь в k раз: если отношение соответствующих сторон подобных треугольников 2 : 3, а меньший периметр 30 см, больший равен 45 см.

  1. Рост ученика 1.6 м, его тень 2 м. В то же время тень флагштока 15 м. Какова высота флагштока?
  2. Грузовик высотой 9 футов даёт тень 15 футов, радиовышка — 180 футов. Найди высоту вышки.
  3. Человек ростом 5 футов отбрасывает тень 7 футов, а дерево — тень 57 футов. Найди высоту дерева с точностью до десятых.
  4. △ABC ∽ △DEF, AB = 4, BC = 6, DE = 10. Найди EF.
  5. Два треугольника подобны с коэффициентом 3. Площадь меньшего 5 см². Какова площадь большего?
  6. Подобные треугольники имеют отношение подобия 2 : 3. Меньший периметр 30 см. Найди больший периметр.
  7. У треугольника 1 углы 50° и 70°, у треугольника 2 углы 70° и 60°. Подобны ли они?
    • Да
    • Нет
    • Только если известны стороны
    • Только если оба прямоугольные
  8. Стороны 3, 4, 5 и 6, 8, 11. Подобны ли треугольники?
    • Нет
    • Да, коэффициент 2
    • Да, коэффициент 2.2
    • Равны только углы
  9. В OpenStax сторонам 4 и 7 одного треугольника соответствуют 2 и 3.5 другого. Коэффициент от первого ко второму:
    • 0.5
    • 2
    • 0.57
    • 1.75
  10. На карте 1 : 50 000 расстояние между городами 6 см. Сколько это километров?
Частые ошибки
  • «Коэффициент 2, значит, площадь удваивается». Основание и высота удваиваются: площадь растёт в 2 × 2 = 4 раза. Длины умножаются на k, площади на k².
  • «△ABC ∽ △DEF, AB = 4, EF = 10, значит, коэффициент 2.5». AB соответствует DE, а не EF. Прежде чем делить, сопоставь стороны по порядку букв или по углам, напротив которых они лежат.
  • «Прибавим ко всем сторонам одно число, и подобие сохранится». Прибавив 2 к 3, 4, 5, получишь 5, 6, 7. Отношения 5 ÷ 3, 6 ÷ 4, 7 ÷ 5 разные. Для подобия нужно умножать, не прибавлять.
Заметка для учителяКорейская учебная программа 2022 года относит подобие к средней школе. Один стандарт посвящён смыслу подобия и коэффициенту подобия, другой — признакам подобия треугольников. В список терминов входят коэффициент подобия и знак ∽. Программа также рекомендует учебные инструменты и программы для понимания равенства и подобия. Измерение теней удобно как задание на улице: пусть группы измерят рост одного человека и его тень, затем тень дерева или флагштока и сравнят ответы между группами. Немного различающиеся высоты дадут повод обсудить погрешность измерений.
Главное
  • Подобные треугольники: равные соответствующие углы и одно отношение сторон.
  • Признаки: SSS (одно отношение всех сторон), SAS (одно отношение двух сторон и равный угол между ними) или два равных угла (AA).
  • Сопоставляй стороны по порядку букв или по углам, напротив которых они лежат.
  • Коэффициент k: длины и периметры умножаются на k, площади на k².
Источники курса (7)
  • Curriculum: 교육부 고시 제2022-33호 [별책 8] 수학과 교육과정 (ncic.re.kr/inv/org/download.do?year=2022&seq=10003559&orgType=ogi4, PDF read 2026-10-19: 초등학교 3~4학년군 [4수03-08] 이등변삼각형·정삼각형, [4수03-09] 직각삼각형·예각삼각형·둔각삼각형, [4수03-25] 삼각형과 사각형의 내각의 크기의 합을 여러 가지 방법으로 추론; 초등학교 5~6학년군 [6수03-01] 합동·대응점·대응변·대응각, [6수03-14] 삼각형의 넓이(높이가 삼각형의 외부에 있는 것도 다룸); 중학교 1~3학년군 [9수03-03] 삼각형의 작도, [9수03-04] 삼각형의 합동 조건, [9수03-05] 삼각형의 내각과 외각, [9수03-09] 이등변삼각형의 성질을 합동 조건으로 정당화하고 증명이라는 용어 도입, [9수03-12]·[9수03-13] 닮음·닮음비·삼각형의 닮음 조건, [9수03-15] 피타고라스 정리를 추측하고 정당화, 역은 직관적으로 이해하고 직각삼각형 판별에 사용; 용어와 기호 대변, 대각, 내각, 외각, 증명, 닮음비, △ABC, ≡, ∽)
  • Textbook: OpenStax, Contemporary Mathematics, 10.3 Triangles (triangle from three noncollinear points; acute, right, obtuse; side a opposite angle A; hypotenuse and legs; angle sum 180° by a parallel line and alternate interior angles; x, x + 17, 3x − 62 gives 45°, 62°, 73°; SSS, SAS, ASA, AAS; similar triangles, scaling factor; tower shadow 180 ft with a 9 ft truck and 15 ft shadow gives 108 ft; Thales and the pyramid: openstax.org/books/contemporary-mathematics/pages/10-3-triangles)
  • OpenStax Prealgebra 2e, 9.3 Use Properties of Angles, Triangles, and the Pythagorean Theorem (a² + b² = c²; Pythagoras around 500 BCE; 13 ft ladder 5 ft from the wall; 10 inch bracket about 7.1 inches; similar triangles: openstax.org/books/prealgebra-2e/pages/9-3-use-properties-of-angles-triangles-and-the-pythagorean-theorem)
  • 9.4 Use Properties of Rectangles, Triangles, and Trapezoids (A = ½bh from half a rectangle; isosceles and equilateral; equilateral perimeter 93 in: .../pages/9-4-use-properties-of-rectangles-triangles-and-trapezoids)
  • OpenStax Precalculus 2e, 8.2 Non-right Triangles: Law of Cosines (Heron’s formula with semi-perimeter s; sides 10, 15, 7 give s = 16 and area about 29.4; Chicago lot 62.4, 43.5, 34.1 m gives about 711.4 m²: openstax.org/books/precalculus-2e/pages/8-2-non-right-triangles-law-of-cosines)
  • History for story blocks only: Euclid’s Elements, D. E. Joyce edition, Clark University (Book I Prop. 20 triangle inequality and Heron’s shortest-path problem; Prop. 26 and its guide on congruence theorems, SSA ambiguity and side-side-right angle; Prop. 32 exterior angle and angle sum, Proclus corollaries; Prop. 47 and its guide on Old Babylonians ca. 1900 to 1600 BCE, Plimpton 322, the Zhou bi hypotenuse diagram, Proclus; Prop. 48 converse; Book VI Prop. 4 equiangular triangles: mathcs.clarku.edu/~djoyce/elements/bookI/propI47.html)
  • MacTutor History of Mathematics, University of St Andrews, Heron of Alexandria (formula proved in Metrica Book I; eclipse of 13 March 62; side of 720 about 26 5/6: mathshistory.st-andrews.ac.uk/Biographies/Heron/) MacTutor, "Euclid of Alexandria" (born about 325 BC, died about 265 BC; dating for the Elements, about 2,300 years ago: mathshistory.st-andrews.ac.uk/Biographies/Euclid/, checked 2026-10-19).

Проверено: 2026-10-19