edubun
Bahasa Indonesia
English한국어EspañolPortuguêsFrançaisDeutschItalianoNederlandsРусскийBahasa Indonesia日本語
Beranda›Geometri dan gambar›Segitiga

Segitiga sebangun dan skala

Seorang siswa setinggi 1.6 m memiliki bayangan 2 m, sedangkan tiang bendera sekolah memiliki bayangan 15 m. Tinggi tiang adalah 1.6 × 15 ÷ 2 = 12 m, dan tidak ada yang perlu memanjatnya.

Cara Thales mengukur piramida dari tanah

Latar belakangThales dari Miletus hidup pada abad keenam SM. OpenStax Contemporary Mathematics menceritakan bahwa ia menemukan tinggi piramida Mesir tanpa memanjatnya. Ia menunggu sampai ujung bayangannya sendiri mencapai ujung bayangan piramida. Sinar matahari, tubuhnya, dan bayangannya kemudian membentuk segitiga siku-siku kecil, sedangkan sinar yang sama bersama piramida dan bayangannya membentuk segitiga besar. Kedua segitiga memiliki sudut-sudut sama, sehingga sisi-sisinya memiliki perbandingan sama. Tinggi badannya sendiri dan kedua panjang bayangan cukup untuk menghitung tinggi piramida. Buku yang sama menyebut Thales sebagai orang yang menyadari bahwa sudut alas segitiga sama kaki sama besar, hal yang kamu buktikan pada unit sebelumnya.

Kamu dapat mengulangi cara itu pada hari cerah di sekolah. Seorang siswa setinggi 1.6 m memiliki bayangan sepanjang 2 m. Pada saat yang sama, tiang bendera memiliki bayangan sepanjang 15 m. Sinar matahari tiba dengan sudut sama di seluruh lapangan, sehingga siswa dan tiang masing-masing membentuk segitiga siku-siku dengan sudut-sudut sama. Tinggi dibagi panjang bayangan harus sama untuk keduanya: 1.6 ÷ 2 = 0.8, sehingga tinggi tiang 15 × 0.8 = 12 m. OpenStax melakukan perhitungan sama dengan menara radio: truk setinggi 9 ft dengan bayangan 15 ft berarti menara dengan bayangan 180 ft memiliki tinggi 180 × 9 ÷ 15 = 108 ft.

Segitiga siswa dan segitiga tiang memiliki sudut-sudut sama, sehingga tinggi dan bayangannya berada dalam perbandingan sama, 1.6 : 2 = 12 : 15. Keduanya digambar dengan skala berbeda.
Memuat

Seret untuk memutar. Gulir atau rapatkan dan renggangkan dua jari untuk mengatur zoom.

Metode bayangan. Geser pengatur matahari: kedua bayangan berubah, tetapi tinggi ÷ bayangan tetap sama untuk tongkat dan menara. Dari tongkat, dapatkan tinggi menara di panel.

Arti sebangun

Dua bangun sebangun jika yang satu merupakan perbesaran atau pengecilan dari yang lain. OpenStax Prealgebra menyatakannya sederhana: bentuk sama, ukuran berbeda, yang satu adalah model berskala dari yang lain. Untuk segitiga itu berarti dua hal sekaligus. Sudut-sudut yang bersesuaian sama besar. Dan sisi-sisi yang bersesuaian semuanya berada dalam perbandingan yang sama, yang disebut faktor skala. Jika segitiga ABC sebangun dengan segitiga DEF dengan faktor skala 2, maka DE = 2 × AB, EF = 2 × BC, dan FD = 2 × CA, sedangkan sudut di D, E, dan F persis sama dengan sudut di A, B, dan C. Dalam buku Korea ini ditulis △ABC ∽ △DEF, dan perbandingan sisi-sisi yang bersesuaian, di sini 1 : 2, disebut perbandingan kesebangunan.

Bagaimana menentukan dua segitiga sebangun tanpa mengukur semuanya? Proposisi 4 Buku VI Euclid menyatakan bahwa segitiga dengan sudut-sudut sama memiliki sisi sebanding, sehingga kesamaan sudut sudah cukup. Karena jumlah sudut 180°, dua sudut sama sudah menentukan sudut ketiga. Itulah uji sudut-sudut yang digunakan Thales. Dua uji lainnya menyerupai syarat kekongruenan: ketiga pasangan sisi memiliki perbandingan sama, atau dua pasangan sisi memiliki perbandingan sama dengan sudut apit yang sama besar. Hanya uji sudut-sudut yang tidak memuat panjang, sehingga itulah yang digunakan untuk bayangan.

Mencari sisi lewat perbandingan

Setelah kamu tahu dua segitiga sebangun, tulis satu pecahan untuk setiap pasang sisi yang bersesuaian dan samakan. Bahayanya adalah memasangkan sisi yang salah. Kebiasaan yang aman adalah memasangkan sisi menurut sudut yang dihadapinya: sisi di hadapan sudut siku-siku pada satu segitiga dipasangkan dengan sisi di hadapan sudut siku-siku pada segitiga lainnya, dan seterusnya. Misalkan △ABC ∽ △DEF, AB = 4, BC = 6, DE = 10. Maka DE : AB = 10 : 4 = 2.5, jadi EF = 6 × 2.5 = 15. Periksa dengan pasangan lain jika kamu mengetahuinya; setiap pasangan yang bersesuaian harus memberi 2.5 yang sama.

Luas tumbuh menurut kuadrat skala

Faktor skala 2 menggandakan setiap panjang, tetapi tidak menggandakan luas. Alas menjadi dua kali dan tinggi menjadi dua kali, sehingga alas × tinggi ÷ 2 bertambah 2 × 2 = 4 kali. Dengan faktor skala k, luas dikalikan k². Foto yang dicetak dengan lebar tiga kali memerlukan kertas sembilan kali lebih luas. Keliling, sebagai besaran panjang, hanya bertambah k kali: segitiga sebangun dengan perbandingan kesebangunan 2 : 3 dan keliling kecil 30 cm memiliki keliling besar 45 cm.

  1. Seorang siswa setinggi 1.6 m memiliki bayangan 2 m. Pada saat yang sama, sebuah tiang bendera memiliki bayangan 15 m. Berapa tinggi tiang itu?
  2. Sebuah truk setinggi 9 ft memiliki bayangan 15 ft, sedangkan sebuah menara radio memiliki bayangan 180 ft. Berapa tinggi menara itu?
  3. Seseorang setinggi 5 ft memiliki bayangan 7 ft, dan sebuah pohon memiliki bayangan 57 ft. Berapa tinggi pohon itu, sampai satu tempat desimal?
  4. △ABC ∽ △DEF, AB = 4, BC = 6, dan DE = 10. Cari EF.
  5. Dua segitiga sebangun dengan faktor skala 3. Segitiga yang lebih kecil memiliki luas 5 cm². Berapa luas segitiga yang lebih besar?
  6. Segitiga-segitiga sebangun memiliki perbandingan kesebangunan 2 : 3. Keliling yang lebih kecil 30 cm. Cari keliling yang lebih besar.
  7. Segitiga 1 memiliki sudut 50° dan 70°. Segitiga 2 memiliki sudut 70° dan 60°. Apakah keduanya sebangun?
    • Ya
    • Tidak
    • Hanya jika sisi diketahui
    • Hanya jika keduanya siku-siku
  8. Sisi 3, 4, 5 dan sisi 6, 8, 11. Apakah segitiga-segitiga itu sebangun?
    • Tidak
    • Ya, faktor skala 2
    • Ya, faktor skala 2.2
    • Hanya sudut-sudutnya yang sama
  9. Dalam OpenStax, sisi-sisi yang bersesuaian 4 dan 7 pada satu segitiga berpasangan dengan 2 dan 3.5 pada segitiga lainnya. Faktor skala dari yang pertama ke yang kedua adalah:
    • 0.5
    • 2
    • 0.57
    • 1.75
  10. Pada peta berskala 1 : 50 000, dua kota berjarak 6 cm. Berapa jarak keduanya dalam kilometer?
Kesalahan umum
  • "Faktor skalanya 2, jadi luasnya menjadi dua kali." Alas dan tinggi sama-sama menjadi dua kali, jadi luasnya 2 × 2 = 4 kali. Panjang berubah menurut k, luas menurut k².
  • "△ABC ∽ △DEF dengan AB = 4 dan EF = 10, jadi faktor skalanya 2.5." AB berpasangan dengan DE, bukan EF. Pasangkan sisi menurut urutan huruf, atau menurut sudut yang dihadapinya, sebelum membagi.
  • "Tambahkan jumlah yang sama pada setiap sisi dan segitiga itu tetap sebangun." Menambahkan 2 pada sisi 3, 4, 5 menghasilkan 5, 6, 7, dan perbandingan 5 ÷ 3, 6 ÷ 4, 7 ÷ 5 semuanya berbeda. Kesebangunan memerlukan perkalian, bukan penjumlahan.
Catatan untuk guruKurikulum Korea 2022 menempatkan kesebangunan pada jenjang SMP, dengan satu standar untuk makna kesebangunan dan perbandingan kesebangunan, serta standar lain untuk syarat kesebangunan segitiga. Daftar istilahnya mencakup perbandingan kesebangunan dan tanda ∽. Kurikulum juga menyarankan alat bantu pengajaran serta perangkat lunak untuk memahami makna kekongruenan dan kesebangunan. Pengukuran bayangan cocok menjadi tugas luar ruangan: dalam kelompok, ukur satu orang beserta bayangannya, lalu bayangan pohon atau tiang bendera, dan bandingkan jawaban antarkelompok. Kelompok berbeda memperoleh tinggi sedikit berbeda, sehingga membuka pembahasan berguna tentang kesalahan pengukuran.
Poin penting
  • Segitiga sebangun: sudut-sudut yang bersesuaian sama dan sisi-sisi yang bersesuaian berada dalam satu perbandingan.
  • Uji: perbandingan SSS, perbandingan SAS dengan sudut apit sama, atau dua sudut yang sama (AA).
  • Pasangkan sisi menurut urutan huruf atau menurut sudut yang dihadapinya.
  • Faktor skala k: panjang dan keliling dikali k, luas dikali k².
Sumber kursus ini (7)
  • Curriculum: 교육부 고시 제2022-33호 [별책 8] 수학과 교육과정 (ncic.re.kr/inv/org/download.do?year=2022&seq=10003559&orgType=ogi4, PDF read 2026-10-19: 초등학교 3~4학년군 [4수03-08] 이등변삼각형·정삼각형, [4수03-09] 직각삼각형·예각삼각형·둔각삼각형, [4수03-25] 삼각형과 사각형의 내각의 크기의 합을 여러 가지 방법으로 추론; 초등학교 5~6학년군 [6수03-01] 합동·대응점·대응변·대응각, [6수03-14] 삼각형의 넓이(높이가 삼각형의 외부에 있는 것도 다룸); 중학교 1~3학년군 [9수03-03] 삼각형의 작도, [9수03-04] 삼각형의 합동 조건, [9수03-05] 삼각형의 내각과 외각, [9수03-09] 이등변삼각형의 성질을 합동 조건으로 정당화하고 증명이라는 용어 도입, [9수03-12]·[9수03-13] 닮음·닮음비·삼각형의 닮음 조건, [9수03-15] 피타고라스 정리를 추측하고 정당화, 역은 직관적으로 이해하고 직각삼각형 판별에 사용; 용어와 기호 대변, 대각, 내각, 외각, 증명, 닮음비, △ABC, ≡, ∽)
  • Textbook: OpenStax, Contemporary Mathematics, 10.3 Triangles (triangle from three noncollinear points; acute, right, obtuse; side a opposite angle A; hypotenuse and legs; angle sum 180° by a parallel line and alternate interior angles; x, x + 17, 3x − 62 gives 45°, 62°, 73°; SSS, SAS, ASA, AAS; similar triangles, scaling factor; tower shadow 180 ft with a 9 ft truck and 15 ft shadow gives 108 ft; Thales and the pyramid: openstax.org/books/contemporary-mathematics/pages/10-3-triangles)
  • OpenStax Prealgebra 2e, 9.3 Use Properties of Angles, Triangles, and the Pythagorean Theorem (a² + b² = c²; Pythagoras around 500 BCE; 13 ft ladder 5 ft from the wall; 10 inch bracket about 7.1 inches; similar triangles: openstax.org/books/prealgebra-2e/pages/9-3-use-properties-of-angles-triangles-and-the-pythagorean-theorem)
  • 9.4 Use Properties of Rectangles, Triangles, and Trapezoids (A = ½bh from half a rectangle; isosceles and equilateral; equilateral perimeter 93 in: .../pages/9-4-use-properties-of-rectangles-triangles-and-trapezoids)
  • OpenStax Precalculus 2e, 8.2 Non-right Triangles: Law of Cosines (Heron’s formula with semi-perimeter s; sides 10, 15, 7 give s = 16 and area about 29.4; Chicago lot 62.4, 43.5, 34.1 m gives about 711.4 m²: openstax.org/books/precalculus-2e/pages/8-2-non-right-triangles-law-of-cosines)
  • History for story blocks only: Euclid’s Elements, D. E. Joyce edition, Clark University (Book I Prop. 20 triangle inequality and Heron’s shortest-path problem; Prop. 26 and its guide on congruence theorems, SSA ambiguity and side-side-right angle; Prop. 32 exterior angle and angle sum, Proclus corollaries; Prop. 47 and its guide on Old Babylonians ca. 1900 to 1600 BCE, Plimpton 322, the Zhou bi hypotenuse diagram, Proclus; Prop. 48 converse; Book VI Prop. 4 equiangular triangles: mathcs.clarku.edu/~djoyce/elements/bookI/propI47.html)
  • MacTutor History of Mathematics, University of St Andrews, Heron of Alexandria (formula proved in Metrica Book I; eclipse of 13 March 62; side of 720 about 26 5/6: mathshistory.st-andrews.ac.uk/Biographies/Heron/) MacTutor, "Euclid of Alexandria" (born about 325 BC, died about 265 BC; dating for the Elements, about 2,300 years ago: mathshistory.st-andrews.ac.uk/Biographies/Euclid/, checked 2026-10-19).

Diperiksa: 2026-10-19