Welche drei Längen ein Dreieck bilden

Stäbe von 3 cm, 4 cm und 8 cm lassen sich nicht zum Dreieck schließen. Die kurzen erreichen nur 3 + 4 = 7 cm, einen Zentimeter weniger als der lange.

Zuerst drei Strohhalm-Sätze beurteilen

Vor jeder Regel eine Aufgabe. Du hast drei Bündel Strohhalme, die auf diese Längen in Zentimetern geschnitten sind: 3, 4 und 5; 3, 4 und 7; 3, 4 und 8. Bei welchen Bündeln lassen sich die drei Strohhalme Ende an Ende zu einem Dreieck schließen? Rate bei jedem, und wenn Strohhalme und eine Schere in der Nähe sind, schneide sie zu und probiere es aus. Die meisten Menschen liegen beim ersten und beim letzten richtig und zögern beim mittleren.

So ist es: Bei 3, 4 und 5 neigen sich die beiden kürzeren Strohhalme einander zu und treffen sich über dem langen: ein Dreieck. Bei 3, 4 und 8 legst du die 8 hin und stellst die 3 und die 4 an ihre Enden. Wie du sie auch neigst, ihre Spitzen können sich nicht treffen, denn selbst flach an der 8 entlang gelegt, decken sie nur 7 ab. Bei 3, 4 und 7 treffen sich die Spitzen nur, wenn beide kurzen Strohhalme flach auf dem langen liegen. Das „Dreieck“ hat keine Höhe und keine Fläche. Die Geometrie zählt es nicht als Dreieck, weil seine drei Ecken auf einer Geraden liegen.

Zwei beliebige Seiten zusammen sind länger als die dritte

Die Strohhalme folgen einer Regel, die Dreiecksungleichung heißt. In jedem Dreieck ist die Summe zweier beliebiger Seiten größer als die dritte Seite: a + b > c, b + c > a und c + a > b. Das sind drei Ungleichungen, aber du musst nie alle prüfen. Nur die längste Seite kann Ärger machen, denn jede Seite plus etwas Positives übertrifft eine kürzere Seite. Der schnelle Test lautet also: Addiere die beiden kürzeren Längen und vergleiche mit der längsten. Größer bedeutet, dass es ein Dreieck gibt. Gleich oder kleiner bedeutet, dass es kein Dreieck gibt.

Denke an einen Heimweg mit einem Halt an einem Laden unterwegs. Wenn der Laden nicht genau auf dem geraden Weg liegt, ist der Umweg länger als der gerade Weg nach Hause. Zuhause, Schule und Laden sind die drei Ecken eines Dreiecks, und der gerade Weg ist eine Seite, die immer kürzer ist als die beiden anderen zusammen. Deshalb gehen Menschen diagonal über einen Park und treten einen Pfad ins Gras.

Wie lang darf die dritte Seite sein?

Die Regel grenzt auch eine fehlende Seite ein. Angenommen, zwei Seiten sind 5 cm und 9 cm lang. Die dritte Seite c muss 5 + 9 > c erfüllen, also c < 14. Sie muss auch c + 5 > 9 erfüllen, also c > 4. Zusammen gilt 4 < c < 14. Allgemein liegt die dritte Seite strikt zwischen der Differenz und der Summe der beiden anderen. Wenn die Seiten ganze Zentimeter lang sein sollen, kommen 5, 6, 7 und so weiter bis 13 infrage, das sind neun mögliche Längen.

Gleichschenklige Dreiecke bergen eine klassische Falle. Zwei Seiten eines gleichschenkligen Dreiecks sind 4 und 9. Ist die dritte Seite 4 oder 9? Probiere 4: Die Seiten 4, 4, 9 scheitern, weil 4 + 4 = 8 kleiner als 9 ist. Also muss die dritte Seite 9 sein, die Seiten sind 4, 9, 9, und der Umfang ist 22.

Die längste Seite liegt dem größten Winkel gegenüber

Eine zweite Tatsache geht mit der ersten einher. In jedem Dreieck liegt der längeren von zwei Seiten der größere Winkel gegenüber, also liegt die längste Seite immer dem größten Winkel gegenüber und die kürzeste Seite dem kleinsten. Ziehst du eine Ecke von der gegenüberliegenden Seite weg, wachsen der Winkel dort und die gegenüberliegende Seite gemeinsam. So weißt du ohne Messen, dass die Hypotenuse eines rechtwinkligen Dreiecks seine längste Seite ist: Sie liegt dem Winkel von 90° gegenüber, und die beiden anderen Winkel sind kleiner.