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ホーム›図形と作図›三角形

三角形を作れる三辺の長さ

3 cm、4 cm、8 cmの棒では三角形を作れません。短い二本を合わせても3 + 4 = 7 cmで、長い棒に一センチ足りません。

まず三組のストローで考える

規則を学ぶ前に、問題を考えましょう。ストローをセンチメートル単位で次の長さに切った3つの組があります。3、4、5の組、3、4、7の組、3、4、8の組です。3本の端どうしをつないで、閉じた三角形を作れるのはどの組でしょうか。それぞれ予想してみましょう。近くにストローとはさみがあれば、実際に切って試してください。多くの人は最初と最後の組は正しく判断できますが、真ん中の組では迷います。

実際にはこうなります。3、4、5の組では、短い2本を互いに傾けると、長い1本の上で先端が出会い、三角形になります。3、4、8の組では、8を横に置き、その両端に3と4を立てます。どれほど傾けても先端は出会いません。8に沿って平らに寝かせても、合計7にしかならないからです。3、4、7の組では、短い2本を長い1本の上に平らに寝かせたときにだけ、先端が出会います。この「三角形」には高さも面積もありません。3つの頂点が一直線上にあるので、幾何学では三角形と認めません。

上：3と4を合わせると5より長いので、先端が5の上で出会います。中：3 + 4 = 7で、平らに重なります。下：3 + 4は8より短いので、先端はどうしても出会えません。

どの二辺の和も残りの辺より長い

ストローは、三角不等式と呼ばれる1つの規則に従います。どんな三角形でも、任意の2辺の和は残りの1辺より大きくなります。a + b > c、b + c > a、c + a > bです。不等式は3つありますが、すべてを確かめる必要はありません。問題になるのは最も長い辺だけです。ある辺に正の長さを加えれば、それより短い辺を必ず上回るからです。したがって簡単な判定法は、短い2辺の長さを足し、最も長い辺と比べることです。和が大きければ三角形ができます。等しいか小さければ、三角形はできません。

帰宅途中にコンビニに寄る道を考えましょう。店が帰宅する直線の道の上にちょうどある場合を除き、寄り道はまっすぐ帰るより長くなります。家、学校、店が三角形の3つの頂点になり、直線の道はその1辺です。その長さは、ほかの2辺を合わせた長さより必ず短くなります。そのため、人は公園を対角線に沿って横切り、芝生に踏み分け道を作るのです。

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平たい三角形です。Cを辺ABに向けて下げましょう。角Cは180°に近づき、三角形はどんどん薄くなります。ACとCBを合わせた長さはABの長さに近づいていきますが、実験室は両者を等しくさせません。等しくなると三角形が消えてしまうからです。

第三の辺はどれだけの長さ？

このきまりは、分かっていない辺の長さの範囲も決めます。二辺が5 cmと9 cmだとします。第三の辺cは5 + 9 > cを満たすので、c < 14です。c + 5 > 9も満たすので、c > 4です。合わせて4 < c < 14となります。一般に、第三の辺は、他の二辺の差より大きく、和より小さくなります。辺の長さを整数センチに限ると、5、6、7と続いて13までの九通りです。

二等辺三角形には、よくあるひっかけ問題があります。二等辺三角形の2辺が4と9のとき、残りの1辺は4でしょうか、9でしょうか。4を試すと、辺が4、4、9では成立しません。4 + 4 = 8は9より小さいからです。したがって残りの辺は9でなければなりません。3辺は4、9、9で、周の長さは22です。

最長の辺の向かいに最大の角

最初の事実には、もう1つの事実が伴います。どんな三角形でも、2辺のうち長いほうの辺の向かいに大きい角があります。したがって、最長の辺は最大の角の向かいに、最短の辺は最小の角の向かいにあります。ある頂点を反対側の辺から遠ざけると、その角と向かいの辺がともに大きくなります。これにより、測らなくても直角三角形の斜辺が最長の辺だと分かります。斜辺は90°の角の向かいにあり、残りの2つの角はそれより小さいからです。

背景ユークリッドは第I巻の命題20で、どんな三角形でも任意の2辺の和は残りの1辺より大きいという三角不等式を証明しています。その証明は、大きい角の向かいには大きい辺があるという命題19を使います。D. E. ジョイス版の注は、この結果を直線が最短経路であるという考えと結び付け、アレクサンドリアのヘロンが解いた問題を紹介しています。直線の同じ側に2点があり、一方の点から直線を経由して他方の点へ最短で進むには、どの経路を通ればよいかという問題です。答えは、鏡で反射する光のように、入る角と出る角が等しい経路です。その証明には命題20を使います。
  1. 2、3、6 cmの棒で三角形を作れますか？
    • いいえ
    • はい
  2. 5、7、10 cmの棒で三角形を作れますか？
    • はい
    • いいえ
  3. 4、4、8 cmの棒で三角形を作れますか？
    • いいえ、一直線になります
    • はい、二等辺三角形です
    • はい、正三角形です
    • はい、直角三角形です
  4. どの長さの組なら三角形を作れますか？
    • 6, 8, 10
    • 1, 2, 3
    • 2, 5, 9
    • 3, 3, 7
  5. 二辺が5 cmと9 cmで、第三の辺の長さは整数センチです。何通りの長さが考えられますか？
  6. 二辺が7と12です。第三の辺として可能な最小の整数はいくつですか？
  7. 二辺が3と10です。第三の辺として可能な最大の整数はいくつですか？
  8. 二等辺三角形の二辺が4と9で、どちらかが繰り返されます。周の長さは？
  9. 三角形ABCで、A = 80°、B = 60°、C = 40°です。最も長い辺はどれですか？
    • BC
    • AC
    • AB
    • すべて等しい
  10. 芝生の二辺を歩かず斜めに横切るのはなぜですか？
    • 三角形の一辺は他の二辺の和より短いから
    • 対角線に直角があるから
    • 芝が道を長くするから
    • 対角線が最長だから
よくある間違い
  • 「3、4、7ならとても平たい三角形です」 短い二辺の和が長い辺に等しいと、三頂点は一直線です。高さも面積もなく、三角形ではありません。等しいのではなく、厳密に大きい必要があります。
  • 「3 + 8 > 4を確認したので3、4、8で作れます」 最長の辺に何かを足せば、短い辺を必ず上回るので、この確認では何も証明できません。短い二辺を足して最長の辺と比べましょう。3 + 4 = 7 < 8です。
  • 「二辺が5と9なら第三辺も5と9の間です」 第三の辺は、二辺のどちらよりも短くなることも、どちらよりも長くなることもあります。本当の範囲は差と和で決まり、4 < c < 14です。13や4.5の長さも認められます。
先生からひとこと韓国の2022年改訂教育課程の文書には、三角不等式が独立した成就基準としては載っていません。中学校で、与えられた三つの長さから三角形を作図し、その手順を説明する場面で現れます。そのため、発見を促す課題に適しています。3、4、5、7、8 cmのストローを配り、どの3本の組なら閉じるか調べさせましょう。話し合いたいのは3、4、7の組です。ストローを押しつぶして細い三角形にし、できたと言う学習者もいるでしょう。その面積はいくつか尋ねてみます。
ポイント
  • どの二辺の和も残りの辺より大きいです。
  • 短い二辺の和が最長辺より大きいかだけを確認します。
  • 二辺a、bに対し第三辺cは|a − b| < c < a + bです。
  • 最長辺の向かいが最大の角です。
このコースの出典 (7)
  • Curriculum: 교육부 고시 제2022-33호 [별책 8] 수학과 교육과정 (ncic.re.kr/inv/org/download.do?year=2022&seq=10003559&orgType=ogi4, PDF read 2026-10-19: 초등학교 3~4학년군 [4수03-08] 이등변삼각형·정삼각형, [4수03-09] 직각삼각형·예각삼각형·둔각삼각형, [4수03-25] 삼각형과 사각형의 내각의 크기의 합을 여러 가지 방법으로 추론; 초등학교 5~6학년군 [6수03-01] 합동·대응점·대응변·대응각, [6수03-14] 삼각형의 넓이(높이가 삼각형의 외부에 있는 것도 다룸); 중학교 1~3학년군 [9수03-03] 삼각형의 작도, [9수03-04] 삼각형의 합동 조건, [9수03-05] 삼각형의 내각과 외각, [9수03-09] 이등변삼각형의 성질을 합동 조건으로 정당화하고 증명이라는 용어 도입, [9수03-12]·[9수03-13] 닮음·닮음비·삼각형의 닮음 조건, [9수03-15] 피타고라스 정리를 추측하고 정당화, 역은 직관적으로 이해하고 직각삼각형 판별에 사용; 용어와 기호 대변, 대각, 내각, 외각, 증명, 닮음비, △ABC, ≡, ∽)
  • Textbook: OpenStax, Contemporary Mathematics, 10.3 Triangles (triangle from three noncollinear points; acute, right, obtuse; side a opposite angle A; hypotenuse and legs; angle sum 180° by a parallel line and alternate interior angles; x, x + 17, 3x − 62 gives 45°, 62°, 73°; SSS, SAS, ASA, AAS; similar triangles, scaling factor; tower shadow 180 ft with a 9 ft truck and 15 ft shadow gives 108 ft; Thales and the pyramid: openstax.org/books/contemporary-mathematics/pages/10-3-triangles)
  • OpenStax Prealgebra 2e, 9.3 Use Properties of Angles, Triangles, and the Pythagorean Theorem (a² + b² = c²; Pythagoras around 500 BCE; 13 ft ladder 5 ft from the wall; 10 inch bracket about 7.1 inches; similar triangles: openstax.org/books/prealgebra-2e/pages/9-3-use-properties-of-angles-triangles-and-the-pythagorean-theorem)
  • 9.4 Use Properties of Rectangles, Triangles, and Trapezoids (A = ½bh from half a rectangle; isosceles and equilateral; equilateral perimeter 93 in: .../pages/9-4-use-properties-of-rectangles-triangles-and-trapezoids)
  • OpenStax Precalculus 2e, 8.2 Non-right Triangles: Law of Cosines (Heron’s formula with semi-perimeter s; sides 10, 15, 7 give s = 16 and area about 29.4; Chicago lot 62.4, 43.5, 34.1 m gives about 711.4 m²: openstax.org/books/precalculus-2e/pages/8-2-non-right-triangles-law-of-cosines)
  • History for story blocks only: Euclid’s Elements, D. E. Joyce edition, Clark University (Book I Prop. 20 triangle inequality and Heron’s shortest-path problem; Prop. 26 and its guide on congruence theorems, SSA ambiguity and side-side-right angle; Prop. 32 exterior angle and angle sum, Proclus corollaries; Prop. 47 and its guide on Old Babylonians ca. 1900 to 1600 BCE, Plimpton 322, the Zhou bi hypotenuse diagram, Proclus; Prop. 48 converse; Book VI Prop. 4 equiangular triangles: mathcs.clarku.edu/~djoyce/elements/bookI/propI47.html)
  • MacTutor History of Mathematics, University of St Andrews, Heron of Alexandria (formula proved in Metrica Book I; eclipse of 13 March 62; side of 720 about 26 5/6: mathshistory.st-andrews.ac.uk/Biographies/Heron/) MacTutor, "Euclid of Alexandria" (born about 325 BC, died about 265 BC; dating for the Elements, about 2,300 years ago: mathshistory.st-andrews.ac.uk/Biographies/Euclid/, checked 2026-10-19).

確認日: 2026-10-19