Quali tre lunghezze formano un triangolo

Bastoncini di 3 cm, 4 cm e 8 cm non formano un triangolo. I due corti arrivano solo a 3 + 4 = 7 cm, un centimetro meno del lungo.

Prima valuta tre gruppi di cannucce

Prima della regola, un problema. Hai tre gruppi di cannucce di queste lunghezze in centimetri: 3, 4 e 5; 3, 4 e 7; 3, 4 e 8. In quali gruppi puoi unirle alle estremità e chiudere un triangolo? Fai una previsione per ciascuno e, se hai forbici e cannucce, prova. Molti rispondono bene al primo e all'ultimo ma esitano sul secondo.

Ecco che cosa succede. Con 3, 4 e 5, le due cannucce più corte si inclinano l'una verso l'altra e si incontrano sopra quella lunga: un triangolo. Con 3, 4 e 8, posa l'8 e metti in piedi il 3 e il 4 sulle sue estremità. In qualunque modo le inclini, le loro punte non possono incontrarsi, perché anche distese lungo l'8 coprono soltanto 7. Con 3, 4 e 7 le punte si incontrano solo quando le due cannucce corte stanno distese sopra quella lunga. Il «triangolo» non ha altezza né area. La geometria non lo conta come triangolo, perché i suoi tre vertici stanno su una retta.

Due lati insieme superano sempre il terzo

Le cannucce seguono una regola, chiamata disuguaglianza triangolare. In ogni triangolo, la somma di due lati qualsiasi è maggiore del terzo lato: a + b > c, b + c > a e c + a > b. Ci sono tre disuguaglianze, ma non serve verificarle tutte. Solo il lato più lungo può dare problemi, dato che qualsiasi lato più una quantità positiva supera un lato più corto. Il controllo rapido è quindi: somma le due lunghezze più corte e confrontale con la più lunga. Se la somma è maggiore, c'è un triangolo. Se è uguale o minore, non c'è nessun triangolo.

Pensa a una passeggiata verso casa che si ferma in un minimarket lungo la strada. A meno che il negozio non sia esattamente sul percorso rettilineo, la deviazione è più lunga che andare dritti a casa. Casa, scuola e negozio sono i tre vertici di un triangolo, e il percorso diretto è un lato, sempre più corto degli altri due messi insieme. Per questo la gente taglia un parco in diagonale e finisce per consumare un sentiero nell'erba.

Quanto può misurare il terzo lato?

La regola limita anche un lato mancante. Supponi che due lati misurino 5 cm e 9 cm. Il terzo lato c deve soddisfare 5 + 9 > c, quindi c < 14. Deve anche soddisfare c + 5 > 9, quindi c > 4. Insieme, 4 < c < 14. In generale, il terzo lato sta strettamente tra la differenza e la somma degli altri due. Se i lati devono misurare centimetri interi, le scelte sono 5, 6, 7 e così via fino a 13, cioè nove lunghezze possibili.

I triangoli isosceli nascondono un classico tranello. Due lati di un triangolo isoscele misurano 4 e 9. Il terzo lato è 4 oppure 9? Prova con 4: i lati 4, 4, 9 non vanno, perché 4 + 4 = 8 è minore di 9. Quindi il terzo lato deve essere 9, i lati sono 4, 9, 9 e il perimetro è 22.

Il lato maggiore è opposto all'angolo maggiore

Un secondo fatto accompagna il primo. In qualsiasi triangolo, il maggiore di due lati sta di fronte all'angolo maggiore, quindi il lato più lungo sta sempre di fronte all'angolo più grande e il lato più corto di fronte all'angolo più piccolo. Allontana un vertice dal lato opposto e crescono insieme sia l'angolo in quel vertice sia il lato di fronte. È così che sai, senza misurare, che l'ipotenusa di un triangolo rettangolo è il suo lato più lungo: sta di fronte all'angolo di 90°, e gli altri due angoli sono più piccoli.