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Home›Geometria e disegno›Triangoli

Somma degli angoli e angolo esterno

Strappa i tre angoli di un triangolo di carta e accostali con i vertici coincidenti. Formano un angolo piatto di 180°, qualunque sia il triangolo.

Strappa gli angoli e mettili in fila

Disegna un triangolo su un foglio di carta da recupero, di una forma qualsiasi, e ritaglialo. Segna ogni angolo con un punto, così saprai quale vertice è quale. Ora stacca a strappo i tre angoli e mettili uno accanto all'altro, in modo che i tre punti si incontrino in un solo punto e i bordi si tocchino. I pezzi strappati si chiudono formando una linea retta lungo il lato inferiore. Riprova con un triangolo lungo e sottile e con uno quasi equilatero. Combaciano ogni volta allo stesso modo. I tre angoli di un triangolo insieme formano un angolo piatto, 180°.

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I tre angoli colorati sono riportati affiancati in basso a destra. Trascina un vertice: cambiano singolarmente, ma insieme restano un angolo piatto. La riga della somma resta a 180°.

Strappare e trascinare suggerisce il risultato, ma non lo dimostra. La carta si strappa in modo irregolare e sullo schermo ogni angolo è arrotondato al decimo di grado, come indica il pannello. Provare dieci o mille triangoli significa comunque provarne solo alcuni. Una dimostrazione deve valere per tutti, anche quelli mai disegnati.

Una parallela trasforma l'esperimento in dimostrazione

La dimostrazione di OpenStax, che risale a Euclide, traccia una linea in più. Dal vertice superiore C, traccia la retta parallela alla base AB. Ora guarda i tre angoli che stanno lungo questa nuova retta in C. L'angolo di sinistra e l'angolo A sono angoli alterni interni tra due rette parallele, quindi sono uguali. Anche l'angolo di destra e l'angolo B sono alterni interni, quindi sono uguali. L'angolo al centro è l'angolo C stesso. Questi tre angoli riempiono una retta passante per C, quindi sommano 180°. Sostituisci i due esterni con A e B e ottieni A + B + C = 180°. Nulla nel ragionamento dipende dalla forma del triangolo.

La retta tratteggiata ℓ passa per C parallela ad AB. L'angolo blu in C è uguale all'angolo A e quello verde è uguale all'angolo B, perché ogni coppia è formata da angoli alterni interni. Insieme all'angolo C al centro, riempiono una retta.
ContestoLa proposizione 32 del libro I degli Elementi di Euclide, nell'edizione di D. E. Joyce della Clark University, enuncia il risultato in una forma più antica: i tre angoli interni di un triangolo insieme sono uguali a due angoli retti. Le note di Joyce aggiungono un particolare sul perché la proposizione compaia così tardi nel libro I. La dimostrazione richiede le rette parallele, e il postulato delle parallele di Euclide è qualcosa che sembra aver evitato finché non ha potuto farne a meno. Le stesse note riportano due corollari del commentatore più tardo Proclo, uno dei quali dice che gli angoli esterni di una figura convessa sommano quattro angoli retti, 360° in termini moderni.

L'angolo esterno è la somma dei due interni non adiacenti

Prolunga un lato di un triangolo oltre un vertice. L'angolo tra il prolungamento e il lato successivo è un angolo esterno. Nel vertice C, l'angolo esterno e l'angolo interno C stanno uno accanto all'altro su una retta, quindi angolo esterno = 180° − C. Ma anche A + B è 180° − C. Dunque l'angolo esterno in C è uguale ad A + B, la somma dei due angoli interni che non gli sono adiacenti. Euclide lo enuncia nella stessa proposizione 32, prima della somma degli angoli. Se A = 40° e B = 65°, l'angolo esterno in C è 105°, e non hai mai avuto bisogno di trovare C, che vale 75°.

BC è prolungato fino a D. L'angolo esterno viola ACD è uguale ad A più B.
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Angolo esterno attivo. Trascina A o B e confronta il valore viola con la somma degli angoli in A e B.

Prendi un angolo esterno in ogni vertice e sommali. Ogni angolo esterno è 180° meno il suo angolo interno, quindi i tre insieme fanno 3 × 180° − 180° = 360°. Chi fa un giro completo attorno a un parco triangolare gira di un angolo giro. Questo è il corollario di Proclo per il triangolo.

Trovare angoli incogniti con l'algebra

La somma degli angoli trasforma molti rompicapo illustrati in equazioni di una riga. OpenStax propone un triangolo i cui angoli misurano x, x + 17 e 3x − 62 gradi. Sommandoli, 5x − 45 = 180, quindi 5x = 225 e x = 45. I tre angoli sono 45°, 62° e 73°, e sommano davvero 180°. Concludi sempre con quest'ultima verifica: un errore nell'algebra salta fuori subito. Per un triangolo isoscele, ricorda che i due angoli alla base sono uguali, quindi un angolo al vertice di 40° lascia (180 − 40) ÷ 2 = 70° per ciascun angolo alla base.

Angoli interni: A + B + C = 180°. Angolo esterno in C = A + B. Un angolo esterno in ogni vertice: 360° in totale.

  1. Due angoli di un triangolo misurano 55° e 82°. Trova il terzo.
  2. Due angoli di un triangolo misurano 26° e 98°. Trova il terzo.
  3. Un angolo acuto di un triangolo rettangolo misura 28°. Trova l'altro.
  4. Nel triangolo ABC, A = 40° e B = 65°. Quanto misura l'angolo esterno in C?
  5. Un angolo esterno di un triangolo misura 130°, e uno dei due angoli interni non adiacenti è 50°. Trova l'altro angolo non adiacente.
  6. Gli angoli di un triangolo sono x°, (x + 17)° e (3x − 62)°. Trova x.
  7. Gli angoli sono nel rapporto 1 : 2 : 3. Quanto misura il maggiore?
  8. Prendi un angolo esterno in ogni vertice di un triangolo. Qual è la loro somma?
  9. Ogni angolo alla base di un isoscele misura 52°. Trova quello tra i lati uguali.
  10. Perché strappare gli angoli di dieci triangoli non è una dimostrazione?
    • Verifica solo quei dieci triangoli e in modo approssimativo
    • I triangoli di carta superano 180°
    • Strappare modifica molto gli angoli
    • Per dimostrare serve un goniometro
Errori comuni
  • «L'angolo esterno in C è 180° − C, quindi non ha nulla a che fare con A e B.» Sono vere entrambe le cose: 180° − C e A + B sono lo stesso valore. Usare A + B spesso evita di calcolare C.
  • «Un triangolo più grande ha una somma degli angoli maggiore.» Ingrandire un triangolo allunga i lati ma lascia ogni angolo com'era. La somma è 180° per un triangolo su un francobollo e per uno disegnato su tutto un campo da calcio.
  • «Sul display la somma è 179.9°, quindi la regola è sbagliata.» Nel laboratorio di trigonometria ogni angolo è arrotondato a 0.1°, quindi i tre valori possono scostarsi di 0.1. La somma esatta sulla riga Somma è 180°.
Nota per l'insegnanteNel curricolo nazionale coreano del 2022, nelle classi 3 e 4 della primaria si ragiona in vari modi sulla somma degli angoli di triangoli e quadrilateri; strappare e misurare appartengono a quella fase. La fascia della scuola media torna sugli angoli interni ed esterni di triangoli e poligoni, e l'argomento delle rette parallele si basa sugli angoli alterni interni imparati poco prima nella stessa fascia. Gli studenti che hanno misurato alla scuola primaria pensano spesso che la misura abbia già dimostrato la regola. Chiedi loro come farebbero a sapere che la regola vale per un triangolo con un angolo di 179°.
Punti chiave
  • Interni di ogni triangolo: A + B + C = 180°.
  • Dimostrazione: parallela ad AB per C e due coppie di alterni interni.
  • Angolo esterno in C = A + B, i due angoli interni che non gli sono adiacenti.
  • Un esterno per vertice dà in totale 360°.
Fonti di questo corso (7)
  • Curriculum: 교육부 고시 제2022-33호 [별책 8] 수학과 교육과정 (ncic.re.kr/inv/org/download.do?year=2022&seq=10003559&orgType=ogi4, PDF read 2026-10-19: 초등학교 3~4학년군 [4수03-08] 이등변삼각형·정삼각형, [4수03-09] 직각삼각형·예각삼각형·둔각삼각형, [4수03-25] 삼각형과 사각형의 내각의 크기의 합을 여러 가지 방법으로 추론; 초등학교 5~6학년군 [6수03-01] 합동·대응점·대응변·대응각, [6수03-14] 삼각형의 넓이(높이가 삼각형의 외부에 있는 것도 다룸); 중학교 1~3학년군 [9수03-03] 삼각형의 작도, [9수03-04] 삼각형의 합동 조건, [9수03-05] 삼각형의 내각과 외각, [9수03-09] 이등변삼각형의 성질을 합동 조건으로 정당화하고 증명이라는 용어 도입, [9수03-12]·[9수03-13] 닮음·닮음비·삼각형의 닮음 조건, [9수03-15] 피타고라스 정리를 추측하고 정당화, 역은 직관적으로 이해하고 직각삼각형 판별에 사용; 용어와 기호 대변, 대각, 내각, 외각, 증명, 닮음비, △ABC, ≡, ∽)
  • Textbook: OpenStax, Contemporary Mathematics, 10.3 Triangles (triangle from three noncollinear points; acute, right, obtuse; side a opposite angle A; hypotenuse and legs; angle sum 180° by a parallel line and alternate interior angles; x, x + 17, 3x − 62 gives 45°, 62°, 73°; SSS, SAS, ASA, AAS; similar triangles, scaling factor; tower shadow 180 ft with a 9 ft truck and 15 ft shadow gives 108 ft; Thales and the pyramid: openstax.org/books/contemporary-mathematics/pages/10-3-triangles)
  • OpenStax Prealgebra 2e, 9.3 Use Properties of Angles, Triangles, and the Pythagorean Theorem (a² + b² = c²; Pythagoras around 500 BCE; 13 ft ladder 5 ft from the wall; 10 inch bracket about 7.1 inches; similar triangles: openstax.org/books/prealgebra-2e/pages/9-3-use-properties-of-angles-triangles-and-the-pythagorean-theorem)
  • 9.4 Use Properties of Rectangles, Triangles, and Trapezoids (A = ½bh from half a rectangle; isosceles and equilateral; equilateral perimeter 93 in: .../pages/9-4-use-properties-of-rectangles-triangles-and-trapezoids)
  • OpenStax Precalculus 2e, 8.2 Non-right Triangles: Law of Cosines (Heron’s formula with semi-perimeter s; sides 10, 15, 7 give s = 16 and area about 29.4; Chicago lot 62.4, 43.5, 34.1 m gives about 711.4 m²: openstax.org/books/precalculus-2e/pages/8-2-non-right-triangles-law-of-cosines)
  • History for story blocks only: Euclid’s Elements, D. E. Joyce edition, Clark University (Book I Prop. 20 triangle inequality and Heron’s shortest-path problem; Prop. 26 and its guide on congruence theorems, SSA ambiguity and side-side-right angle; Prop. 32 exterior angle and angle sum, Proclus corollaries; Prop. 47 and its guide on Old Babylonians ca. 1900 to 1600 BCE, Plimpton 322, the Zhou bi hypotenuse diagram, Proclus; Prop. 48 converse; Book VI Prop. 4 equiangular triangles: mathcs.clarku.edu/~djoyce/elements/bookI/propI47.html)
  • MacTutor History of Mathematics, University of St Andrews, Heron of Alexandria (formula proved in Metrica Book I; eclipse of 13 March 62; side of 720 about 26 5/6: mathshistory.st-andrews.ac.uk/Biographies/Heron/) MacTutor, "Euclid of Alexandria" (born about 325 BC, died about 265 BC; dating for the Elements, about 2,300 years ago: mathshistory.st-andrews.ac.uk/Biographies/Euclid/, checked 2026-10-19).

Consultato il: 2026-10-19