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Start›Geometrie und Zeichnungen›Dreiecke

Winkelsumme und Außenwinkel

Reiß die drei Ecken eines Papierdreiecks ab und leg ihre Spitzen zusammen. Sie ergeben eine gerade Linie, 180°, unabhängig vom Ausgangsdreieck.

Ecken abreißen und aneinanderlegen

Zeichne auf Schmierpapier ein Dreieck von beliebiger Form und schneide es aus. Markiere jede Ecke mit einem Punkt, damit du weißt, welche Spitze welche ist. Reiße nun die drei Ecken ab und lege sie so nebeneinander, dass sich die drei Punkte in einem Punkt treffen und die Kanten sich berühren. Die abgerissenen Stücke schließen sich unten zu einer geraden Linie. Versuche es noch einmal mit einem langen, schmalen Dreieck und mit einem fast gleichseitigen. Es passt jedes Mal gleich. Die drei Ecken eines Dreiecks ergeben zusammen einen gestreckten Winkel, 180°.

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Die farbigen Winkel erscheinen unten rechts nebeneinander. Zieh eine Ecke: Die Einzelwinkel ändern sich, zusammen bleiben sie gestreckt. Die Zeile Summe bleibt bei 180°.

Abreißen und Ziehen deuten die Antwort an, beweisen sie aber nicht. Papier reißt ungleichmäßig, und die Anzeige rundet jeden Winkel auf ein Zehntelgrad, wie das Feld erklärt. Zehn oder tausend Dreiecke zu prüfen heißt immer nur einige zu prüfen. Ein Beweis muss für alle gelten, auch nie gezeichnete.

Eine Parallele macht aus dem Versuch einen Beweis

Der Beweis in OpenStax, der auf Euklid zurückgeht, zeichnet eine zusätzliche Gerade. Zeichne durch die obere Ecke C die Parallele zur Grundseite AB. Betrachte nun die drei Winkel, die an dieser neuen Geraden bei C liegen. Der linke Winkel und der Winkel A sind Wechselwinkel zwischen zwei Parallelen, also sind sie gleich. Der rechte Winkel und der Winkel B sind ebenfalls Wechselwinkel, also sind auch sie gleich. Der mittlere Winkel ist der Winkel C selbst. Diese drei Winkel füllen eine gerade Linie durch C, also ergeben sie zusammen 180°. Ersetzt du die beiden äußeren durch A und B, erhältst du A + B + C = 180°. Nichts an dieser Begründung hängt von der Form des Dreiecks ab.

Die gestrichelte Gerade ℓ verläuft durch C parallel zu AB. Der blaue Winkel in C ist gleich A, der grüne gleich B, jeweils als Wechselwinkel. Mit C dazwischen bilden sie eine gerade Linie.
HintergrundSatz 32 in Buch I von Euklids Elementen, Ausgabe D. E. Joyce der Clark University, formuliert das Ergebnis in älterer Form: Die Innenwinkel eines Dreiecks ergeben zwei rechte Winkel. Joyce erklärt, warum der Satz so spät in Buch I steht: Der Beweis braucht Parallelen, und Euklid scheint das Parallelenpostulat möglichst lange vermieden zu haben. Die Anmerkungen nennen auch zwei Folgerungen des späteren Kommentators Proklos. Eine besagt, dass die Außenwinkel einer konvexen Figur vier rechte Winkel ergeben, heute 360°.

Der Außenwinkel ist die Summe der beiden nicht anliegenden Innenwinkel

Verlängere eine Seite eines Dreiecks über eine Ecke hinaus. Der Winkel zwischen der Verlängerung und der nächsten Seite ist ein Außenwinkel. An der Ecke C liegen der Außenwinkel und der Innenwinkel C nebeneinander auf einer Geraden, also gilt Außenwinkel = 180° − C. Aber auch A + B ist 180° − C. Daher ist der Außenwinkel bei C gleich A + B, der Summe der beiden Innenwinkel, die nicht neben ihm liegen. Euklid sagt dies im selben Satz 32, noch vor der Winkelsumme. Wenn A = 40° und B = 65° ist, beträgt der Außenwinkel bei C 105°, und du musstest C, das 75° misst, nie bestimmen.

BC wird bis D verlängert. Der violette Außenwinkel ACD ist gleich Winkel A plus Winkel B.
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Außenwinkel eingeschaltet. Zieh A oder B und vergleiche die violette Zahl mit der Summe bei A und B.

Nimm an jeder Ecke einen Außenwinkel und addiere sie. Jeder Außenwinkel ist 180° minus seinem Innenwinkel, also ergeben die drei zusammen 3 × 180° − 180° = 360°. Wer einmal rund um einen dreieckigen Park geht, dreht sich insgesamt um eine volle Drehung. Das ist Proklos' Folgerung für das Dreieck.

Fehlende Winkel mit Algebra finden

Mit der Winkelsumme werden viele Bildaufgaben zu kurzen Gleichungen. OpenStax gibt Winkel x, x + 17 und 3x − 62 Grad vor. Addiert: 5x − 45 = 180, also 5x = 225 und x = 45. Die Winkel sind 45°, 62° und 73° und ergeben tatsächlich 180°. Mach diese Probe immer am Ende; ein Algebrafehler fällt sofort auf. Im gleichschenkligen Dreieck sind die Basiswinkel gleich: Ein Spitzenwinkel von 40° lässt für jeden (180 − 40) ÷ 2 = 70°.

Innenwinkel: A + B + C = 180°. Außenwinkel bei C = A + B. Ein Außenwinkel pro Ecke: insgesamt 360°.

  1. Zwei Dreieckswinkel messen 55° und 82°. Finde den dritten.
  2. Zwei Dreieckswinkel messen 26° und 98°. Finde den dritten.
  3. Ein spitzer Winkel eines rechtwinkligen Dreiecks misst 28°. Finde den anderen.
  4. In ABC gilt A = 40° und B = 65°. Wie groß ist der Außenwinkel bei C?
  5. Ein Außenwinkel eines Dreiecks beträgt 130°, und einer der beiden nicht anliegenden Innenwinkel beträgt 50°. Finde den anderen nicht anliegenden Winkel.
  6. Die Dreieckswinkel sind x°, (x + 17)° und (3x − 62)°. Finde x.
  7. Die Winkel stehen im Verhältnis 1 : 2 : 3. Wie groß ist der größte?
  8. Nimm einen Außenwinkel an jeder Ecke. Wie groß ist ihre Summe?
  9. Jeder Basiswinkel eines gleichschenkligen Dreiecks misst 52°. Finde den Winkel zwischen den gleichen Seiten.
  10. Warum ist das Abreißen von Ecken an zehn Papierdreiecken kein Beweis?
    • Es prüft nur diese zehn Dreiecke und nur ungefähr
    • Papierdreiecke haben mehr als 180°
    • Abreißen verändert die Winkel stark
    • Ein Beweis braucht einen Winkelmesser
Häufige Fehler
  • „Der Außenwinkel bei C ist 180° − C, also hat er nichts mit A und B zu tun.“ Beides gilt: 180° − C und A + B sind dieselbe Zahl. A + B spart oft einen Schritt, weil du C nicht berechnen musst.
  • „Ein größeres Dreieck hat eine größere Winkelsumme.“ Wenn man ein Dreieck vergrößert, werden die Seiten länger, aber jeder Winkel bleibt, wie er war. Die Summe beträgt 180° bei einem Dreieck auf einer Briefmarke und bei einem, das quer über ein Fußballfeld gezeichnet ist.
  • „Die Anzeige addiert die Winkel zu 179.9°, also ist die Regel falsch.“ Das Labor rundet jeden Winkel auf 0.1°, daher können die drei Zahlen um 0.1 abweichen. Die genaue Summe in der Zeile Summe ist 180°.
Hinweis für LehrkräfteIm koreanischen nationalen Lehrplan von 2022 begründen die Grundschulklassen 3 bis 4 die Winkelsumme von Dreiecken und Vierecken auf mehrere Arten; Abreißen und Messen gehören dorthin. Die Mittelschulstufe kehrt zu den Innen- und Außenwinkeln von Dreiecken und Vielecken zurück, und die Begründung mit Parallelen stützt sich auf die Wechselwinkel, die kurz zuvor in derselben Stufe gelernt wurden. Lernende, die in der Grundschule gemessen haben, glauben oft, die Messung habe es schon bewiesen. Frage sie, woher sie wissen, dass die Regel auch für ein Dreieck mit einem Winkel von 179° gilt.
Das Wichtigste
  • Innenwinkel jedes Dreiecks: A + B + C = 180°.
  • Beweis: eine Parallele zu AB durch C und zwei Paare von Wechselwinkeln.
  • Außenwinkel bei C = A + B, die beiden nicht anliegenden Innenwinkel.
  • Ein Außenwinkel pro Ecke ergibt 360°.
Quellen zu diesem Kurs (7)
  • Curriculum: 교육부 고시 제2022-33호 [별책 8] 수학과 교육과정 (ncic.re.kr/inv/org/download.do?year=2022&seq=10003559&orgType=ogi4, PDF read 2026-10-19: 초등학교 3~4학년군 [4수03-08] 이등변삼각형·정삼각형, [4수03-09] 직각삼각형·예각삼각형·둔각삼각형, [4수03-25] 삼각형과 사각형의 내각의 크기의 합을 여러 가지 방법으로 추론; 초등학교 5~6학년군 [6수03-01] 합동·대응점·대응변·대응각, [6수03-14] 삼각형의 넓이(높이가 삼각형의 외부에 있는 것도 다룸); 중학교 1~3학년군 [9수03-03] 삼각형의 작도, [9수03-04] 삼각형의 합동 조건, [9수03-05] 삼각형의 내각과 외각, [9수03-09] 이등변삼각형의 성질을 합동 조건으로 정당화하고 증명이라는 용어 도입, [9수03-12]·[9수03-13] 닮음·닮음비·삼각형의 닮음 조건, [9수03-15] 피타고라스 정리를 추측하고 정당화, 역은 직관적으로 이해하고 직각삼각형 판별에 사용; 용어와 기호 대변, 대각, 내각, 외각, 증명, 닮음비, △ABC, ≡, ∽)
  • Textbook: OpenStax, Contemporary Mathematics, 10.3 Triangles (triangle from three noncollinear points; acute, right, obtuse; side a opposite angle A; hypotenuse and legs; angle sum 180° by a parallel line and alternate interior angles; x, x + 17, 3x − 62 gives 45°, 62°, 73°; SSS, SAS, ASA, AAS; similar triangles, scaling factor; tower shadow 180 ft with a 9 ft truck and 15 ft shadow gives 108 ft; Thales and the pyramid: openstax.org/books/contemporary-mathematics/pages/10-3-triangles)
  • OpenStax Prealgebra 2e, 9.3 Use Properties of Angles, Triangles, and the Pythagorean Theorem (a² + b² = c²; Pythagoras around 500 BCE; 13 ft ladder 5 ft from the wall; 10 inch bracket about 7.1 inches; similar triangles: openstax.org/books/prealgebra-2e/pages/9-3-use-properties-of-angles-triangles-and-the-pythagorean-theorem)
  • 9.4 Use Properties of Rectangles, Triangles, and Trapezoids (A = ½bh from half a rectangle; isosceles and equilateral; equilateral perimeter 93 in: .../pages/9-4-use-properties-of-rectangles-triangles-and-trapezoids)
  • OpenStax Precalculus 2e, 8.2 Non-right Triangles: Law of Cosines (Heron’s formula with semi-perimeter s; sides 10, 15, 7 give s = 16 and area about 29.4; Chicago lot 62.4, 43.5, 34.1 m gives about 711.4 m²: openstax.org/books/precalculus-2e/pages/8-2-non-right-triangles-law-of-cosines)
  • History for story blocks only: Euclid’s Elements, D. E. Joyce edition, Clark University (Book I Prop. 20 triangle inequality and Heron’s shortest-path problem; Prop. 26 and its guide on congruence theorems, SSA ambiguity and side-side-right angle; Prop. 32 exterior angle and angle sum, Proclus corollaries; Prop. 47 and its guide on Old Babylonians ca. 1900 to 1600 BCE, Plimpton 322, the Zhou bi hypotenuse diagram, Proclus; Prop. 48 converse; Book VI Prop. 4 equiangular triangles: mathcs.clarku.edu/~djoyce/elements/bookI/propI47.html)
  • MacTutor History of Mathematics, University of St Andrews, Heron of Alexandria (formula proved in Metrica Book I; eclipse of 13 March 62; side of 720 about 26 5/6: mathshistory.st-andrews.ac.uk/Biographies/Heron/) MacTutor, "Euclid of Alexandria" (born about 325 BC, died about 265 BC; dating for the Elements, about 2,300 years ago: mathshistory.st-andrews.ac.uk/Biographies/Euclid/, checked 2026-10-19).

Abgerufen: 2026-10-19