edubun
Bahasa Indonesia
English한국어EspañolPortuguêsFrançaisDeutschItalianoNederlandsРусскийBahasa Indonesia日本語
Beranda›Geometri dan gambar›Segitiga

Jumlah sudut dan sudut luar

Sobek ketiga sudut dari segitiga kertas mana pun dan susun dengan ujungnya bertemu di satu titik. Ketiganya mengisi garis lurus, 180°, segitiga apa pun yang kamu mulai.

Sobek sudutnya dan susun berjajar

Gambar segitiga pada kertas bekas, dengan bentuk apa saja, lalu gunting. Tandai setiap sudut dengan titik agar kamu tahu ujung mana yang mana. Sekarang sobek ketiga sudutnya dan susun berdampingan sehingga ketiga titik bertemu di satu titik dan tepinya saling menyentuh. Potongan-potongan itu menyatu membentuk garis lurus pada bagian bawah. Coba lagi dengan segitiga panjang dan tipis serta segitiga yang hampir sama sisi. Susunannya selalu pas dengan cara sama. Tiga sudut segitiga bersama-sama membentuk sudut lurus, 180°.

Memuat

Seret untuk memutar. Gulir atau rapatkan dan renggangkan dua jari untuk mengatur zoom.

Ketiga sudut berwarna disalin berdampingan di sudut kanan bawah. Seret titik sudut mana pun: setiap sudut berubah, tetapi bersama-sama tetap membentuk sudut lurus. Baris jumlah tetap 180°.

Menyobek dan menyeret sama-sama menunjuk ke jawabannya, tetapi tidak ada yang membuktikannya. Kertas robek tidak rata, dan layar membulatkan setiap sudut ke sepersepuluh derajat, seperti diakui panel. Pengujian pada sepuluh segitiga, atau seribu, tetap hanya pengujian pada beberapa segitiga. Bukti harus berlaku untuk setiap segitiga sekaligus, termasuk yang belum pernah digambar siapa pun.

Satu garis sejajar mengubah percobaan menjadi bukti

Pembuktian dalam OpenStax, yang berasal dari Euclid, menggambar satu garis tambahan. Melalui titik sudut atas C, gambar garis sejajar dengan alas AB. Sekarang perhatikan tiga sudut yang berderet sepanjang garis baru di C. Sudut kiri dan sudut A merupakan sudut berseberangan di antara dua garis sejajar, sehingga sama besar. Sudut kanan dan sudut B juga merupakan sudut berseberangan, sehingga sama besar. Sudut tengah adalah sudut C sendiri. Ketiga sudut itu mengisi garis lurus melalui C, sehingga jumlahnya 180°. Ganti kedua sudut luar dengan A dan B dan kamu memperoleh A + B + C = 180°. Tidak ada bagian penalaran ini yang bergantung pada bentuk segitiga.

Garis putus-putus ℓ melalui C sejajar dengan AB. Sudut biru di C sama dengan sudut A dan yang hijau sama dengan sudut B, karena setiap pasangan adalah sudut dalam berseberangan. Bersama sudut C di tengah, ketiganya mengisi garis lurus.
Latar belakangProposisi 32 dalam Buku I Elements karya Euclid, pada edisi D. E. Joyce dari Clark University, menyatakan hasilnya dalam bentuk lama: ketiga sudut dalam segitiga bersama-sama sama dengan dua sudut siku-siku. Catatan Joyce menambahkan alasan proposisi ini ditempatkan begitu jauh di belakang dalam Buku I. Pembuktiannya memerlukan garis sejajar, dan Euclid tampaknya menghindari postulat kesejajarannya sampai tidak dapat lagi melakukannya tanpa postulat itu. Catatan yang sama merekam dua akibat yang ditulis komentator kemudian, Proclus. Salah satunya menyatakan bahwa jumlah sudut luar bangun cembung sama dengan empat sudut siku-siku, atau 360° dalam istilah modern.

Sudut luar sama dengan jumlah dua sudut dalam yang tidak bersisian

Perpanjang salah satu sisi segitiga melewati titik sudut. Sudut antara perpanjangan itu dan sisi berikutnya disebut sudut luar. Di titik sudut C, sudut luar dan sudut dalam C berdampingan pada garis lurus, sehingga sudut luar = 180° − C. Namun, A + B juga sama dengan 180° − C. Jadi sudut luar di C sama dengan A + B, jumlah dua sudut dalam yang tidak bersisian dengannya. Euclid menyatakannya dalam Proposisi 32 yang sama, sebelum jumlah sudut. Jika A = 40° dan B = 65°, sudut luar di C adalah 105°, tanpa perlu mencari C yang besarnya 75°.

Sisi BC diperpanjang sampai D. Sudut luar ungu ACD sama dengan sudut A ditambah sudut B.
Memuat

Seret untuk memutar. Gulir atau rapatkan dan renggangkan dua jari untuk mengatur zoom.

Sudut luar diaktifkan. Seret A atau B dan bandingkan angka ungu dengan jumlah kedua sudut di A dan B.

Ambil satu sudut luar di setiap titik sudut lalu jumlahkan. Setiap sudut luar adalah 180° dikurangi sudut dalamnya, jadi ketiganya bersama-sama 3 × 180° − 180° = 360°. Seseorang yang berjalan sekali mengelilingi taman berbentuk segitiga berputar satu putaran penuh. Itulah akibat dari Proclus untuk segitiga.

Mencari sudut dengan aljabar

Jumlah sudut mengubah banyak teka-teki gambar menjadi persamaan satu baris. OpenStax memberikan segitiga dengan sudut x, x + 17, dan 3x − 62 derajat. Dengan menjumlahkannya, 5x − 45 = 180, sehingga 5x = 225 dan x = 45. Ketiga sudutnya 45°, 62°, dan 73°, dan memang berjumlah 180°. Selalu akhiri dengan pemeriksaan itu; kesalahan aljabar langsung terlihat. Untuk segitiga sama kaki, ingat bahwa kedua sudut alas sama besar, sehingga sudut puncak 40° menyisakan (180 − 40) ÷ 2 = 70° untuk setiap sudut alas.

Sudut dalam: A + B + C = 180°. Sudut luar di C = A + B. Satu sudut luar di setiap titik sudut: totalnya 360°.

  1. Dua sudut sebuah segitiga adalah 55° dan 82°. Cari sudut ketiga.
  2. Dua sudut sebuah segitiga adalah 26° dan 98°. Cari sudut ketiga.
  3. Satu sudut lancip sebuah segitiga siku-siku adalah 28°. Cari sudut lancip yang lain.
  4. Pada segitiga ABC, A = 40° dan B = 65°. Berapa sudut luar di C?
  5. Sebuah sudut luar segitiga adalah 130°, dan salah satu dari dua sudut dalam yang tidak bersisian adalah 50°. Cari sudut tidak bersisian yang lain.
  6. Sudut-sudut sebuah segitiga adalah x°, (x + 17)°, dan (3x − 62)°. Cari x.
  7. Sudut-sudut sebuah segitiga berbanding 1 : 2 : 3. Berapa besar sudut yang terbesar?
  8. Ambil satu sudut luar di setiap titik sudut sebuah segitiga. Berapa jumlahnya?
  9. Setiap sudut alas sebuah segitiga sama kaki adalah 52°. Cari sudut di antara kedua sisi yang sama.
  10. Mengapa menyobek sudut dari sepuluh segitiga kertas bukan bukti?
    • Hanya memeriksa kesepuluh segitiga itu, dan hanya secara kasar
    • Segitiga kertas memiliki lebih dari 180°
    • Menyobek mengubah sudut-sudutnya banyak
    • Bukti memerlukan busur derajat
Kesalahan umum
  • "Sudut luar di C adalah 180° − C, jadi tidak ada hubungannya dengan A dan B." Keduanya benar sekaligus: 180° − C dan A + B adalah bilangan yang sama. Memakai A + B sering menghemat satu langkah, karena kamu tidak perlu mencari C.
  • "Segitiga yang lebih besar memiliki jumlah sudut yang lebih besar." Memperbesar segitiga membuat sisi-sisinya lebih panjang, tetapi setiap sudut tetap seperti semula. Jumlahnya 180° untuk segitiga pada perangko maupun yang digambar melintasi lapangan sepak bola.
  • "Layar menjumlahkan ketiga sudut menjadi 179.9°, jadi aturannya salah." Laboratorium trigonometri membulatkan setiap sudut ke 0.1°, sehingga jumlah ketiga angka yang dibulatkan bisa meleset 0.1. Jumlah tepat yang ditunjukkan pada baris Jumlah adalah 180°.
Catatan untuk guruMenurut kurikulum nasional Korea 2022, kelas 3 sampai 4 SD menalar jumlah sudut segitiga dan segi empat dengan beberapa cara; menyobek dan mengukur termasuk di sana. Jenjang SMP kembali membahas sudut dalam dan sudut luar segitiga serta segi banyak, dan argumen garis sejajar bertumpu pada sudut dalam berseberangan yang dipelajari sedikit lebih awal pada jenjang yang sama. Siswa yang mengukur di SD sering mengira pengukuran itu sudah membuktikannya. Tanyakan bagaimana mereka akan tahu bahwa aturan itu berlaku untuk segitiga dengan satu sudut 179°.
Poin penting
  • Sudut dalam segitiga mana pun: A + B + C = 180°.
  • Bukti: sebuah garis melalui C yang sejajar dengan AB dan dua pasang sudut dalam berseberangan.
  • Sudut luar di C = A + B, yaitu dua sudut dalam yang tidak bersisian dengannya.
  • Satu sudut luar di setiap titik sudut berjumlah 360°.
Sumber kursus ini (7)
  • Curriculum: 교육부 고시 제2022-33호 [별책 8] 수학과 교육과정 (ncic.re.kr/inv/org/download.do?year=2022&seq=10003559&orgType=ogi4, PDF read 2026-10-19: 초등학교 3~4학년군 [4수03-08] 이등변삼각형·정삼각형, [4수03-09] 직각삼각형·예각삼각형·둔각삼각형, [4수03-25] 삼각형과 사각형의 내각의 크기의 합을 여러 가지 방법으로 추론; 초등학교 5~6학년군 [6수03-01] 합동·대응점·대응변·대응각, [6수03-14] 삼각형의 넓이(높이가 삼각형의 외부에 있는 것도 다룸); 중학교 1~3학년군 [9수03-03] 삼각형의 작도, [9수03-04] 삼각형의 합동 조건, [9수03-05] 삼각형의 내각과 외각, [9수03-09] 이등변삼각형의 성질을 합동 조건으로 정당화하고 증명이라는 용어 도입, [9수03-12]·[9수03-13] 닮음·닮음비·삼각형의 닮음 조건, [9수03-15] 피타고라스 정리를 추측하고 정당화, 역은 직관적으로 이해하고 직각삼각형 판별에 사용; 용어와 기호 대변, 대각, 내각, 외각, 증명, 닮음비, △ABC, ≡, ∽)
  • Textbook: OpenStax, Contemporary Mathematics, 10.3 Triangles (triangle from three noncollinear points; acute, right, obtuse; side a opposite angle A; hypotenuse and legs; angle sum 180° by a parallel line and alternate interior angles; x, x + 17, 3x − 62 gives 45°, 62°, 73°; SSS, SAS, ASA, AAS; similar triangles, scaling factor; tower shadow 180 ft with a 9 ft truck and 15 ft shadow gives 108 ft; Thales and the pyramid: openstax.org/books/contemporary-mathematics/pages/10-3-triangles)
  • OpenStax Prealgebra 2e, 9.3 Use Properties of Angles, Triangles, and the Pythagorean Theorem (a² + b² = c²; Pythagoras around 500 BCE; 13 ft ladder 5 ft from the wall; 10 inch bracket about 7.1 inches; similar triangles: openstax.org/books/prealgebra-2e/pages/9-3-use-properties-of-angles-triangles-and-the-pythagorean-theorem)
  • 9.4 Use Properties of Rectangles, Triangles, and Trapezoids (A = ½bh from half a rectangle; isosceles and equilateral; equilateral perimeter 93 in: .../pages/9-4-use-properties-of-rectangles-triangles-and-trapezoids)
  • OpenStax Precalculus 2e, 8.2 Non-right Triangles: Law of Cosines (Heron’s formula with semi-perimeter s; sides 10, 15, 7 give s = 16 and area about 29.4; Chicago lot 62.4, 43.5, 34.1 m gives about 711.4 m²: openstax.org/books/precalculus-2e/pages/8-2-non-right-triangles-law-of-cosines)
  • History for story blocks only: Euclid’s Elements, D. E. Joyce edition, Clark University (Book I Prop. 20 triangle inequality and Heron’s shortest-path problem; Prop. 26 and its guide on congruence theorems, SSA ambiguity and side-side-right angle; Prop. 32 exterior angle and angle sum, Proclus corollaries; Prop. 47 and its guide on Old Babylonians ca. 1900 to 1600 BCE, Plimpton 322, the Zhou bi hypotenuse diagram, Proclus; Prop. 48 converse; Book VI Prop. 4 equiangular triangles: mathcs.clarku.edu/~djoyce/elements/bookI/propI47.html)
  • MacTutor History of Mathematics, University of St Andrews, Heron of Alexandria (formula proved in Metrica Book I; eclipse of 13 March 62; side of 720 about 26 5/6: mathshistory.st-andrews.ac.uk/Biographies/Heron/) MacTutor, "Euclid of Alexandria" (born about 325 BC, died about 265 BC; dating for the Elements, about 2,300 years ago: mathshistory.st-andrews.ac.uk/Biographies/Euclid/, checked 2026-10-19).

Diperiksa: 2026-10-19