Suma de ángulos y ángulo exterior

Arranca las tres esquinas de un triángulo de papel y júntalas por sus puntas. Forman una línea recta de 180°, sea cual sea el triángulo inicial.

Arranca las esquinas y alínealas

Dibuja un triángulo de cualquier forma en un papel usado y recórtalo. Marca cada vértice con un punto para distinguir las puntas. Ahora arranca las tres esquinas y colócalas una junto a otra, de modo que los tres puntos coincidan y los bordes se toquen. Los trozos forman una línea recta por abajo. Repite con un triángulo largo y delgado y con otro casi equilátero. Encajan igual cada vez. Las tres esquinas de un triángulo juntas forman un ángulo llano de 180°.

Arrancar y arrastrar apuntan a la respuesta, pero no la demuestran. El papel se rompe de forma irregular y en la pantalla cada ángulo se redondea a una décima de grado, como se indica en el panel. Probar con diez triángulos, o con mil, sigue siendo probar solo algunos. Una demostración debe valer para todos a la vez, incluso los que nadie ha dibujado.

Una recta paralela convierte el experimento en una demostración

Para la demostración de OpenStax, que se remonta a Euclides, dibuja una recta adicional. Por el vértice superior C, traza la paralela a la base AB. Observa los tres ángulos que quedan sobre esa nueva recta en C. El de la izquierda y el ángulo A son alternos internos entre paralelas, así que son iguales. El de la derecha y el ángulo B también son alternos internos y, por tanto, iguales. El del medio es el propio ángulo C. Los tres forman una línea recta por C, así que suman 180°. Sustituye los dos exteriores por A y B y obtendrás A + B + C = 180°. Ningún paso depende de la forma del triángulo.

El ángulo exterior es la suma de los dos ángulos interiores no adyacentes

Prolonga un lado del triángulo más allá de un vértice. El ángulo entre esa prolongación y el lado siguiente es un ángulo exterior. En C, el ángulo exterior y el interior C quedan juntos sobre una recta, así que ángulo exterior = 180° − C. Pero A + B también es 180° − C. Por tanto, el ángulo exterior en C es igual a A + B, la suma de los dos interiores no adyacentes a él. Euclides lo enuncia en la misma proposición 32, antes de la suma de ángulos. Si A = 40° y B = 65°, el ángulo exterior en C es 105°, y no necesitas calcular C, que mide 75°.

Toma un ángulo exterior en cada vértice y súmalos. Cada uno es 180° menos su ángulo interior, así que los tres juntos suman 3 × 180° − 180° = 360°. Si recorres una vez el contorno de un parque triangular, giras una vuelta completa. Ese es el corolario de Proclo aplicado al triángulo.

Hallar ángulos desconocidos con álgebra

Con la suma de ángulos puedes resolver muchos problemas de dibujos mediante una ecuación de una línea. OpenStax presenta un triángulo cuyos ángulos miden x, x + 17 y 3x − 62 grados. Al sumarlos, 5x − 45 = 180, de modo que 5x = 225 y x = 45. Los tres ángulos son 45°, 62° y 73°, y sí suman 180°. Termina siempre con esa comprobación: cualquier error de álgebra se detecta enseguida. En un triángulo isósceles, recuerda que los dos ángulos de la base son iguales, así que un ángulo de 40° en el vértice opuesto deja (180 − 40) ÷ 2 = 70° para cada ángulo de la base.