Tipos de triángulos según sus lados y ángulos

Un triángulo de lados 5, 5 y 8 cm es isósceles y obtusángulo a la vez. El primer nombre depende de sus lados; el segundo, de su ángulo mayor, de unos 106°.

Dos escuadras, dos formas distintas

En un estuche de matemáticas suele haber un par de escuadras de plástico. Una tiene ángulos de 45°, 45° y 90°. La otra, de 30°, 60° y 90°. Ambas son triángulos rectángulos, pero nadie las confundiría. La diferencia está en los lados. La primera tiene dos lados de igual longitud; en la segunda, los tres son distintos. Así, un mismo triángulo responde a dos preguntas independientes: ¿cómo son sus tres lados entre sí? ¿Y cuánto mide su ángulo mayor? Cada pregunta le da un nombre, y esos dos nombres no dependen uno del otro.

Primero, qué se considera un triángulo. OpenStax lo explica así: une con segmentos tres puntos que no estén en una misma recta y tendrás un triángulo. Los puntos son sus vértices y los segmentos, sus lados. Una convención del mismo libro evita confusiones más adelante. Llama al triángulo ΔABC por sus vértices y asigna a cada lado la letra minúscula del vértice opuesto: el lado a queda frente al ángulo A, el lado b frente al ángulo B y el lado c frente al ángulo C. En la unidad 3 usarás esta correspondencia para ver que el lado más largo siempre queda frente al ángulo mayor.

Tres casos según los lados

Si los tres lados son iguales, el triángulo es equilátero. Si dos lados son iguales, es isósceles. En un triángulo isósceles, el tercer lado se llama base y los dos ángulos de sus extremos son los ángulos de la base. Si no hay dos lados iguales, el triángulo es escaleno. En los dibujos se señalan los lados iguales con marcas iguales en lugar de escribir sus longitudes: una rayita en dos lados indica que son iguales; un lado con dos rayitas solo coincide con otros que tengan dos.

¿Un triángulo equilátero también es isósceles? Si tomas la definición literalmente, al menos dos lados iguales, sí: un triángulo con tres lados iguales sin duda tiene dos. Es la misma relación que entre cuadrados y rectángulos. Todo triángulo equilátero es isósceles, pero uno isósceles con lados 5, 5 y 8 no es equilátero. Algunos libros definen isósceles como exactamente dos lados iguales; con esa definición los nombres dejan de superponerse, así que revisa cuál usa tu libro.

Clasificar según el ángulo mayor da tres casos más

OpenStax clasifica por ángulos con tres reglas breves. En un triángulo acutángulo, los tres ángulos miden menos de 90°. Un triángulo rectángulo tiene un ángulo de exactamente 90°, marcado con un cuadradito en el vértice. Un triángulo obtusángulo tiene un ángulo entre 90° y 180°. ¿Por qué uno y no dos? Los tres ángulos siempre suman 180°, como demostrarás en la siguiente unidad. Dos ángulos de 90° o más ya ocuparían los 180° completos sin dejar nada para el tercer vértice. Por eso todo triángulo tiene al menos dos ángulos agudos, y solo el mayor determina cuál de los tres nombres recibe.

Qué combinaciones pueden existir

Como los dos nombres responden a preguntas distintas, se combinan. En la tabla siguiente hay un ejemplo de cada pareja. Dos casillas quedan vacías. Un triángulo equilátero tiene tres ángulos iguales, porque a lados iguales se oponen ángulos iguales, así que cada ángulo mide 180° ÷ 3 = 60°. Nunca puede ser rectángulo ni obtusángulo. El triángulo de lados 5, 5, 8 del inicio queda en la casilla isósceles y obtusángulo: sus dos ángulos de la base miden unos 36.9° cada uno y el ángulo entre los lados iguales, unos 106.3°.