Виды треугольников по сторонам и углам
Треугольник со сторонами 5, 5 и 8 см одновременно равнобедренный и тупоугольный. Первое название описывает стороны, второе — наибольший угол, около 106°.
Два угольника, две разные формы
В школьном пенале часто лежат два пластиковых угольника. У одного углы 45°, 45° и 90°, у другого 30°, 60° и 90°. Оба являются прямоугольными треугольниками, но их никто не перепутает. Различие в сторонах: у первого две стороны равны, у второго все три разные. Поэтому один треугольник отвечает на два независимых вопроса. Как соотносятся длины его трёх сторон? Насколько велик его наибольший угол? Каждый вопрос даёт треугольнику название, и эти два названия не зависят друг от друга.
Сначала о том, что считается треугольником. В OpenStax сказано так: соедини отрезками три точки, не лежащие на одной прямой, и получится треугольник. Точки называются его вершинами, а отрезки — сторонами. Принятое в той же книге обозначение избавит от путаницы позже. Назови треугольник ΔABC по его вершинам, а каждой стороне дай строчную букву противолежащей вершины: сторона a лежит против угла A, сторона b — против угла B, сторона c — против угла C. В уроке 3 именно эта связь используется, чтобы показать: самая длинная сторона всегда лежит против наибольшего угла.
По сторонам есть три случая
Если все три стороны равны, треугольник равносторонний. Если равны две стороны, он равнобедренный. В равнобедренном треугольнике третья сторона называется основанием, а два угла у концов основания — углами при основании. Если равных сторон нет, треугольник разносторонний. На рисунках равные стороны отмечают одинаковыми штрихами вместо чисел: один маленький штрих на двух сторонах означает, что эти две стороны равны, а сторона с двумя штрихами равна только другим сторонам с двумя штрихами.
Является ли равносторонний треугольник также равнобедренным? Если буквально следовать определению «не менее двух равных сторон», ответ — да: у треугольника с тремя равными сторонами, конечно, есть две равные. Это такая же связь, как между квадратами и прямоугольниками. Каждый равносторонний треугольник равнобедренный, но равнобедренный треугольник со сторонами 5, 5 и 8 не равносторонний. Некоторые книги требуют у равнобедренного ровно две равные стороны. В таком определении названия уже не пересекаются, поэтому проверь, какое определение используется в твоём учебнике.
По наибольшему углу ещё три случая
OpenStax классифицирует треугольники по углам тремя короткими правилами. В остроугольном все три угла меньше 90°. В прямоугольном один угол равен ровно 90° и отмечен маленьким квадратиком у вершины. В тупоугольном один угол лежит между 90° и 180°. Почему один, а не два? Сумма трёх углов всегда равна 180°, что доказывается в следующем уроке. Два угла не меньше 90° уже заняли бы все 180°, ничего не оставив третьему. Поэтому у любого треугольника не менее двух острых углов, а выбор одного из трёх названий зависит только от наибольшего угла.
Перетащи, чтобы повернуть. Для изменения масштаба прокрути колёсико или сведи и разведи два пальца.
Какие сочетания возможны
Названия отвечают на разные вопросы, поэтому сочетаются. В таблице ниже есть пример для каждой пары, но две ячейки остаются пустыми. У равностороннего треугольника все углы равны, ведь против равных сторон лежат равные углы, поэтому каждый угол равен 180° ÷ 3 = 60°. Такой треугольник никогда не бывает прямоугольным или тупоугольным. Треугольник 5, 5, 8 из начала страницы попадает в ячейку «равнобедренный и тупоугольный»: углы при основании около 36.9° каждый, а угол между равными сторонами около 106.3°.
| Остроугольный | Прямоугольный | Тупоугольный | |
|---|---|---|---|
| Равносторонний | 60°, 60°, 60° | нет | нет |
| Равнобедренный | 70°, 70°, 40° | 45°, 45°, 90° | 30°, 30°, 120° |
| Разносторонний | 50°, 60°, 70° | 30°, 60°, 90° | 20°, 40°, 120° |
| Равносторонний | Все три стороны равны; каждый угол 60° |
| Равнобедренный | Хотя бы две стороны равны; углы при основании равны |
| Остроугольный треугольник | Все три угла меньше 90° |
| Прямоугольный треугольник | Один угол ровно 90° |
| Тупоугольный треугольник | Один угол между 90° и 180° |
| Сторона a | Сторона напротив угла A |
- Углы треугольника 88°, 32° и 60°. Какой он?
- остроугольный
- прямоугольный
- тупоугольный
- невозможный
- Углы треугольника 65°, 90° и 25°. Какой он?
- прямоугольный
- остроугольный
- тупоугольный
- равносторонний
- Углы 30°, 120° и 30°. Какая пара названий подходит?
- тупоугольный и равнобедренный
- остроугольный и равнобедренный
- тупоугольный и равносторонний
- прямоугольный и равнобедренный
- Какой треугольник невозможен?
- равносторонний прямоугольный
- равнобедренный прямоугольный
- равнобедренный тупоугольный
- прямоугольный с тремя разными сторонами
- Стороны 4 см, 6 см и 9 см. По сторонам треугольник:
- разносторонний
- равнобедренный
- равносторонний
- прямоугольный
- У равнобедренного треугольника угол между двумя равными сторонами равен 40°. Каков каждый угол при основании?
- Периметр равностороннего треугольника 93 дюйма. Какова длина стороны?
- Каково минимальное число острых углов в треугольнике?
- Сколько градусов в каждом угле равностороннего треугольника?
- Стороны 5, 5 и 8. Сравни 8² с 5² + 5². Треугольник:
- тупоугольный
- прямоугольный
- остроугольный
- равносторонний
- «Прямоугольный треугольник не может быть равнобедренным: прямой угол делает его несимметричным». Угольник 45°, 45°, 90° сочетает оба свойства: его катеты равны. Стороны и углы классифицируют отдельно, поэтому у одного треугольника может быть по названию из каждого списка.
- «Если у треугольника есть острый угол, он остроугольный». В любом треугольнике хотя бы два острых угла, даже в тупоугольном и прямоугольном. Название определяет наибольший угол: чтобы треугольник был остроугольным, все три угла должны быть меньше 90°.
- «Равносторонний не равнобедренный: у него три равные стороны, а не две». По обычному определению «две равные стороны» три равные стороны тоже включают две. Это всё равно что утверждать, будто квадрат не является прямоугольником. Прежде чем отвечать, проверь, какое определение принято в твоём классе.
- По сторонам: равносторонний (3 равны), равнобедренный (2 равны) или все разные.
- По наибольшему углу: остроугольный (все меньше 90°), прямоугольный (один 90°), тупоугольный (один больше 90°).
- В любом треугольнике хотя бы два острых угла.
- Сторона a напротив угла A. У равностороннего три угла по 60°.
Источники курса (7)
- Curriculum: 교육부 고시 제2022-33호 [별책 8] 수학과 교육과정 (ncic.re.kr/inv/org/download.do?year=2022&seq=10003559&orgType=ogi4, PDF read 2026-10-19: 초등학교 3~4학년군 [4수03-08] 이등변삼각형·정삼각형, [4수03-09] 직각삼각형·예각삼각형·둔각삼각형, [4수03-25] 삼각형과 사각형의 내각의 크기의 합을 여러 가지 방법으로 추론; 초등학교 5~6학년군 [6수03-01] 합동·대응점·대응변·대응각, [6수03-14] 삼각형의 넓이(높이가 삼각형의 외부에 있는 것도 다룸); 중학교 1~3학년군 [9수03-03] 삼각형의 작도, [9수03-04] 삼각형의 합동 조건, [9수03-05] 삼각형의 내각과 외각, [9수03-09] 이등변삼각형의 성질을 합동 조건으로 정당화하고 증명이라는 용어 도입, [9수03-12]·[9수03-13] 닮음·닮음비·삼각형의 닮음 조건, [9수03-15] 피타고라스 정리를 추측하고 정당화, 역은 직관적으로 이해하고 직각삼각형 판별에 사용; 용어와 기호 대변, 대각, 내각, 외각, 증명, 닮음비, △ABC, ≡, ∽)
- Textbook: OpenStax, Contemporary Mathematics, 10.3 Triangles (triangle from three noncollinear points; acute, right, obtuse; side a opposite angle A; hypotenuse and legs; angle sum 180° by a parallel line and alternate interior angles; x, x + 17, 3x − 62 gives 45°, 62°, 73°; SSS, SAS, ASA, AAS; similar triangles, scaling factor; tower shadow 180 ft with a 9 ft truck and 15 ft shadow gives 108 ft; Thales and the pyramid: openstax.org/books/contemporary-mathematics/pages/10-3-triangles)
- OpenStax Prealgebra 2e, 9.3 Use Properties of Angles, Triangles, and the Pythagorean Theorem (a² + b² = c²; Pythagoras around 500 BCE; 13 ft ladder 5 ft from the wall; 10 inch bracket about 7.1 inches; similar triangles: openstax.org/books/prealgebra-2e/pages/9-3-use-properties-of-angles-triangles-and-the-pythagorean-theorem)
- 9.4 Use Properties of Rectangles, Triangles, and Trapezoids (A = ½bh from half a rectangle; isosceles and equilateral; equilateral perimeter 93 in: .../pages/9-4-use-properties-of-rectangles-triangles-and-trapezoids)
- OpenStax Precalculus 2e, 8.2 Non-right Triangles: Law of Cosines (Heron’s formula with semi-perimeter s; sides 10, 15, 7 give s = 16 and area about 29.4; Chicago lot 62.4, 43.5, 34.1 m gives about 711.4 m²: openstax.org/books/precalculus-2e/pages/8-2-non-right-triangles-law-of-cosines)
- History for story blocks only: Euclid’s Elements, D. E. Joyce edition, Clark University (Book I Prop. 20 triangle inequality and Heron’s shortest-path problem; Prop. 26 and its guide on congruence theorems, SSA ambiguity and side-side-right angle; Prop. 32 exterior angle and angle sum, Proclus corollaries; Prop. 47 and its guide on Old Babylonians ca. 1900 to 1600 BCE, Plimpton 322, the Zhou bi hypotenuse diagram, Proclus; Prop. 48 converse; Book VI Prop. 4 equiangular triangles: mathcs.clarku.edu/~djoyce/elements/bookI/propI47.html)
- MacTutor History of Mathematics, University of St Andrews, Heron of Alexandria (formula proved in Metrica Book I; eclipse of 13 March 62; side of 720 about 26 5/6: mathshistory.st-andrews.ac.uk/Biographies/Heron/) MacTutor, "Euclid of Alexandria" (born about 325 BC, died about 265 BC; dating for the Elements, about 2,300 years ago: mathshistory.st-andrews.ac.uk/Biographies/Euclid/, checked 2026-10-19).
Проверено: 2026-10-19