Driehoeken indelen naar zijden en hoeken

Een driehoek met zijden van 5, 5 en 8 cm is tegelijk gelijkbenig en stomphoekig. De eerste naam komt van de zijden, de tweede van de grootste hoek, ongeveer 106°.

Twee tekendriehoeken, twee vormen

In een wiskunde-etui vind je vaak twee plastic tekendriehoeken. Eén heeft hoeken van 45°, 45° en 90°, de andere 30°, 60° en 90°. Beide zijn rechthoekig, maar niemand zou ze door elkaar halen. Het verschil zit in de zijden. De eerste heeft twee even lange zijden; bij de tweede zijn alle drie de zijden verschillend. Eén driehoek beantwoordt dus twee aparte vragen. Hoe verhouden de drie zijden zich tot elkaar? En hoe groot is de grootste hoek? Elke vraag geeft de driehoek een naam, en die twee namen zijn niet van elkaar afhankelijk.

Eerst: wat is een driehoek? Volgens OpenStax zo: verbind drie punten die niet op één rechte lijn liggen met lijnstukken en je hebt een driehoek. De punten zijn de hoekpunten en de lijnstukken de zijden. Een naamgewoonte uit hetzelfde boek bespaart je later moeite. Noem de driehoek ΔABC naar zijn hoekpunten en geef elke zijde de kleine letter van het hoekpunt ertegenover, dus zijde a ligt tegenover hoek A, zijde b tegenover hoek B en zijde c tegenover hoek C. Hoofdstuk 3 gebruikt precies deze koppeling om te laten zien dat de langste zijde altijd tegenover de grootste hoek ligt.

Indelen naar zijden geeft drie gevallen

Zijn alle drie de zijden gelijk, dan is de driehoek gelijkzijdig. Zijn twee zijden gelijk, dan is hij gelijkbenig. Bij een gelijkbenige driehoek heet de derde zijde de basis en de twee hoeken aan de uiteinden van de basis heten basishoeken. Zijn geen twee zijden gelijk, dan is hij ongelijkzijdig. Tekeningen geven gelijke zijden aan met overeenkomende streepjes in plaats van met de lengtes: één streepje op twee zijden betekent dat die twee gelijk zijn, en een zijde met twee streepjes is alleen gelijk aan andere zijden met twee streepjes.

Is een gelijkzijdige driehoek ook gelijkbenig? Neem de definitie letterlijk, minstens twee gelijke zijden, en het antwoord is ja: een driehoek met drie gelijke zijden heeft er zeker twee. Het is dezelfde verhouding als tussen vierkanten en rechthoeken. Elke gelijkzijdige driehoek is gelijkbenig, maar een gelijkbenige driehoek met zijden 5, 5 en 8 is niet gelijkzijdig. Sommige boeken definiëren gelijkbenig als precies twee gelijke zijden; kom je die versie tegen, dan overlappen de twee namen niet meer. Kijk dus welke definitie jouw leerboek gebruikt.

Indelen naar de grootste hoek geeft er nog drie

OpenStax deelt de driehoeken naar hoeken in met drie korte regels. Bij een scherphoekige driehoek zijn alle drie de hoeken kleiner dan 90°. Een rechthoekige driehoek heeft één hoek van precies 90°, in de hoek aangegeven met een vierkantje. Een stomphoekige driehoek heeft één hoek tussen 90° en 180°. Waarom één en niet twee? De drie hoeken tellen altijd op tot 180°, wat het volgende hoofdstuk bewijst. Twee hoeken van 90° of meer nemen al de hele 180° in beslag en laten niets over voor de derde hoek. Elke driehoek heeft dus minstens twee scherpe hoeken en alleen de grootste hoek bepaalt welke van de drie namen hij krijgt.

Welke combinaties bestaan

Omdat de twee namen verschillende vragen beantwoorden, kunnen ze gecombineerd worden. De tabel hieronder toont één voorbeeld per paar. Twee vakken blijven leeg. Een gelijkzijdige driehoek heeft drie gelijke hoeken, want gelijke zijden liggen tegenover gelijke hoeken, dus elke hoek is 180° ÷ 3 = 60°. Hij kan dus nooit rechthoekig of stomphoekig zijn. De driehoek met zijden 5, 5 en 8 van bovenaan de pagina valt in het vak gelijkbenig en stomphoekig: zijn twee basishoeken zijn elk ongeveer 36.9° en de hoek tussen de gelijke zijden is ongeveer 106.3°.