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Inicio›Geometría y dibujos›Triángulos

Qué tres longitudes forman un triángulo

No puedes unir palitos de 3 cm, 4 cm y 8 cm para formar un triángulo. Los dos cortos solo alcanzan 3 + 4 = 7 cm, un centímetro menos que el largo.

Tres grupos de popotes para decidir primero

Antes de la regla, un problema. Tienes tres grupos de popotes cortados a estas longitudes en centímetros: 3, 4 y 5; 3, 4 y 7; 3, 4 y 8. ¿En cuáles puedes unir los tres extremo con extremo y cerrar un triángulo? Haz una predicción para cada uno y, si tienes popotes y tijeras a mano, córtalos y prueba. Casi todos aciertan con el primero y el último, pero dudan con el del medio.

Esto es lo que ocurre. Con 3, 4 y 5, los dos popotes cortos se inclinan uno hacia otro y se encuentran por encima del largo: un triángulo. Con 3, 4 y 8, coloca el de 8 horizontal y los de 3 y 4 en sus extremos. Por mucho que los inclines, sus puntas no se encuentran, porque incluso acostados sobre el de 8 solo cubren 7. Con 3, 4 y 7, las puntas solo se tocan cuando los dos cortos quedan acostados sobre el largo. El «triángulo» no tiene altura ni área. En geometría no cuenta como triángulo, porque sus tres vértices están en una recta.

Arriba: 3 y 4 juntos superan a 5, así que se encuentran por encima. En medio: 3 + 4 = 7 queda plano. Abajo: 3 + 4 es menor que 8, así que las puntas nunca se encuentran.

La suma de dos lados cualesquiera es mayor que el tercero

Los popotes cumplen una regla llamada desigualdad triangular. En todo triángulo, la suma de dos lados cualesquiera es mayor que el tercero: a + b > c, b + c > a y c + a > b. Son tres desigualdades, pero no necesitas comprobarlas todas. Solo puede fallar la del lado mayor, porque cualquier lado más una cantidad positiva supera a un lado menor. La prueba rápida es sumar los dos más cortos y comparar con el más largo. Si la suma es mayor, hay triángulo. Si es igual o menor, no lo hay.

Piensa en volver a casa pasando por una tienda. Salvo que la tienda esté exactamente en el camino recto, el desvío es más largo que ir directamente a casa. La casa, la escuela y la tienda son los tres vértices de un triángulo, y el trayecto recto es un lado, siempre más corto que los otros dos juntos. Por eso la gente cruza los parques en diagonal y deja un sendero en el césped.

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Un triángulo bajo y aplanado. Arrastra C hacia el lado AB. El ángulo C se acerca a 180° y el triángulo se estrecha: la suma de AC y CB se aproxima cada vez más a la longitud de AB, pero no puedes igualarlas en el laboratorio porque el triángulo desaparecería.

¿Cuánto puede medir el tercer lado?

La regla también limita un lado desconocido. Supón que dos lados miden 5 cm y 9 cm. El tercero, c, debe cumplir 5 + 9 > c, así que c < 14. También debe cumplir c + 5 > 9, así que c > 4. Juntas: 4 < c < 14. En general, el tercer lado está estrictamente entre la diferencia y la suma de los otros dos. Si los lados deben medir centímetros enteros, las opciones son 5, 6, 7 y así hasta 13: nueve longitudes posibles.

Los triángulos isósceles tienen una trampa clásica. Dos lados miden 4 y 9. ¿El tercero mide 4 o 9? Prueba con 4: los lados 4, 4, 9 no sirven porque 4 + 4 = 8 es menor que 9. Por tanto, el tercero debe medir 9, los lados son 4, 9, 9 y el perímetro es 22.

El lado más largo queda frente al ángulo mayor

Hay un segundo hecho relacionado. En todo triángulo, al mayor de dos lados se opone el mayor ángulo; por eso el lado más largo queda frente al ángulo mayor y el más corto, frente al menor. Aleja un vértice del lado opuesto y tanto ese ángulo como el lado de enfrente crecen juntos. Así sabes, sin medir, que la hipotenusa de un triángulo rectángulo es su lado más largo: queda frente al ángulo de 90° y los otros dos son menores.

ContextoEuclides demuestra la desigualdad triangular en la proposición 20 del libro I: en todo triángulo la suma de dos lados cualesquiera supera al restante. Se apoya en la proposición 19, según la cual al ángulo mayor se opone el lado mayor. En la edición de D. E. Joyce, las notas relacionan el resultado con la idea de que la recta es el camino más corto y cuentan un problema resuelto por Herón de Alejandría. Hay dos puntos al mismo lado de una recta y debes ir de uno a la recta y luego al otro por el camino más corto. La solución es el trayecto en que el ángulo de entrada iguala al de salida, como la luz al reflejarse en un espejo, y se demuestra con la proposición 20.
  1. ¿Puedes formar un triángulo con palitos de 2, 3 y 6 cm?
    • No
    • Sí
  2. ¿Puedes formar un triángulo con palitos de 5, 7 y 10 cm?
    • Sí
    • No
  3. ¿Puedes formar un triángulo con palitos de 4, 4 y 8 cm?
    • No, quedan alineados
    • Sí, uno isósceles
    • Sí, uno equilátero
    • Sí, uno rectángulo
  4. ¿Qué grupo de longitudes forma un triángulo?
    • 6, 8, 10
    • 1, 2, 3
    • 2, 5, 9
    • 3, 3, 7
  5. Dos lados miden 5 cm y 9 cm. El tercero mide un número entero de centímetros. ¿Cuántas longitudes son posibles?
  6. Dos lados miden 7 y 12. ¿Cuál es la menor longitud entera posible del tercer lado?
  7. Dos lados miden 3 y 10. ¿Cuál es la mayor longitud entera posible del tercer lado?
  8. Dos lados de un triángulo isósceles miden 4 y 9 (uno se repite). ¿Cuál es su perímetro?
  9. En el triángulo ABC, A = 80°, B = 60°, C = 40°. ¿Qué lado es el más largo?
    • BC
    • AC
    • AB
    • Todos son iguales
  10. ¿Por qué la gente cruza el césped en diagonal en lugar de recorrer dos bordes?
    • Un lado de un triángulo es más corto que los otros dos juntos
    • La diagonal tiene un ángulo recto
    • El césped alarga los caminos
    • La diagonal es el lado más largo
Errores frecuentes
  • «3, 4 y 7 forman un triángulo muy aplanado». Cuando los dos lados cortos suman exactamente lo mismo que el largo, los tres vértices quedan en una recta. No hay altura ni área, así que no es un triángulo. La desigualdad debe ser estricta: mayor que, no igual a.
  • «Comprobé que 3 + 8 > 4, así que 3, 4, 8 sirve». Sumar cualquier cantidad al lado más largo siempre supera a un lado más corto, así que eso no demuestra nada. Suma los dos más cortos y compara con el más largo: 3 + 4 = 7 < 8.
  • «Dos lados miden 5 y 9, así que el tercero está entre 5 y 9». El tercero puede ser más corto que ambos o más largo que ambos. Los límites reales son la diferencia y la suma: 4 < c < 14. Se permite un lado de 13 o de 4.5.
Nota para docentesEl currículo coreano de 2022 no incluye la desigualdad triangular como un estándar independiente; aparece en secundaria al construir un triángulo con tres longitudes dadas y explicar el procedimiento. Por eso es una buena actividad de descubrimiento. Reparte popotes de 3, 4, 5, 7 y 8 cm y deja que busquen qué ternas cierran. Conviene debatir el caso 3, 4, 7: algunos aplastarán los popotes hasta formar un triángulo delgado y dirán que funciona. Pregunta cuál es su área.
Ideas clave
  • La suma de dos lados cualesquiera de un triángulo es mayor que el tercero.
  • Prueba rápida: los dos lados más cortos deben sumar más que el más largo.
  • Tercer lado c de un triángulo con lados a y b: |a − b| < c < a + b.
  • El lado más largo queda frente al ángulo mayor.
Fuentes de este curso (7)
  • Curriculum: 교육부 고시 제2022-33호 [별책 8] 수학과 교육과정 (ncic.re.kr/inv/org/download.do?year=2022&seq=10003559&orgType=ogi4, PDF read 2026-10-19: 초등학교 3~4학년군 [4수03-08] 이등변삼각형·정삼각형, [4수03-09] 직각삼각형·예각삼각형·둔각삼각형, [4수03-25] 삼각형과 사각형의 내각의 크기의 합을 여러 가지 방법으로 추론; 초등학교 5~6학년군 [6수03-01] 합동·대응점·대응변·대응각, [6수03-14] 삼각형의 넓이(높이가 삼각형의 외부에 있는 것도 다룸); 중학교 1~3학년군 [9수03-03] 삼각형의 작도, [9수03-04] 삼각형의 합동 조건, [9수03-05] 삼각형의 내각과 외각, [9수03-09] 이등변삼각형의 성질을 합동 조건으로 정당화하고 증명이라는 용어 도입, [9수03-12]·[9수03-13] 닮음·닮음비·삼각형의 닮음 조건, [9수03-15] 피타고라스 정리를 추측하고 정당화, 역은 직관적으로 이해하고 직각삼각형 판별에 사용; 용어와 기호 대변, 대각, 내각, 외각, 증명, 닮음비, △ABC, ≡, ∽)
  • Textbook: OpenStax, Contemporary Mathematics, 10.3 Triangles (triangle from three noncollinear points; acute, right, obtuse; side a opposite angle A; hypotenuse and legs; angle sum 180° by a parallel line and alternate interior angles; x, x + 17, 3x − 62 gives 45°, 62°, 73°; SSS, SAS, ASA, AAS; similar triangles, scaling factor; tower shadow 180 ft with a 9 ft truck and 15 ft shadow gives 108 ft; Thales and the pyramid: openstax.org/books/contemporary-mathematics/pages/10-3-triangles)
  • OpenStax Prealgebra 2e, 9.3 Use Properties of Angles, Triangles, and the Pythagorean Theorem (a² + b² = c²; Pythagoras around 500 BCE; 13 ft ladder 5 ft from the wall; 10 inch bracket about 7.1 inches; similar triangles: openstax.org/books/prealgebra-2e/pages/9-3-use-properties-of-angles-triangles-and-the-pythagorean-theorem)
  • 9.4 Use Properties of Rectangles, Triangles, and Trapezoids (A = ½bh from half a rectangle; isosceles and equilateral; equilateral perimeter 93 in: .../pages/9-4-use-properties-of-rectangles-triangles-and-trapezoids)
  • OpenStax Precalculus 2e, 8.2 Non-right Triangles: Law of Cosines (Heron’s formula with semi-perimeter s; sides 10, 15, 7 give s = 16 and area about 29.4; Chicago lot 62.4, 43.5, 34.1 m gives about 711.4 m²: openstax.org/books/precalculus-2e/pages/8-2-non-right-triangles-law-of-cosines)
  • History for story blocks only: Euclid’s Elements, D. E. Joyce edition, Clark University (Book I Prop. 20 triangle inequality and Heron’s shortest-path problem; Prop. 26 and its guide on congruence theorems, SSA ambiguity and side-side-right angle; Prop. 32 exterior angle and angle sum, Proclus corollaries; Prop. 47 and its guide on Old Babylonians ca. 1900 to 1600 BCE, Plimpton 322, the Zhou bi hypotenuse diagram, Proclus; Prop. 48 converse; Book VI Prop. 4 equiangular triangles: mathcs.clarku.edu/~djoyce/elements/bookI/propI47.html)
  • MacTutor History of Mathematics, University of St Andrews, Heron of Alexandria (formula proved in Metrica Book I; eclipse of 13 March 62; side of 720 about 26 5/6: mathshistory.st-andrews.ac.uk/Biographies/Heron/) MacTutor, "Euclid of Alexandria" (born about 325 BC, died about 265 BC; dating for the Elements, about 2,300 years ago: mathshistory.st-andrews.ac.uk/Biographies/Euclid/, checked 2026-10-19).

Fecha de consulta: 2026-10-19