edubun
Français
English한국어EspañolPortuguêsFrançaisDeutschItalianoNederlandsРусскийBahasa Indonesia日本語
Accueil›Géométrie et dessins›Triangles

Quelles trois longueurs forment un triangle

Des baguettes de 3 cm, 4 cm et 8 cm ne peuvent pas former un triangle. Les deux courtes atteignent seulement 3 + 4 = 7 cm, un centimètre de moins que la longue.

Trois lots de pailles à examiner d'abord

Avant la règle, un problème. Tu as trois lots de pailles de longueurs, en centimètres : 3, 4 et 5 ; 3, 4 et 7 ; 3, 4 et 8. Dans quels lots peux-tu joindre les extrémités pour fermer un triangle ? Fais une prévision et, si tu as des pailles et des ciseaux, découpe et essaie. La plupart réussissent le premier et le dernier, mais hésitent sur celui du milieu.

Voici ce qui se passe. Avec 3, 4 et 5, les deux petites pailles se rejoignent au-dessus de la longue : un triangle. Avec 3, 4 et 8, pose celle de 8 et place les autres à ses bouts. Quelle que soit leur inclinaison, leurs pointes ne se rejoignent pas : même couchées sur le 8, elles ne couvrent que 7. Avec 3, 4 et 7, elles ne se touchent que couchées sur la longue. Le « triangle » n'a ni hauteur ni aire. En géométrie, ce n'est pas un triangle, car ses trois sommets sont alignés.

En haut : 3 et 4 ensemble dépassent 5, donc se rejoignent au-dessus. Au milieu : 3 + 4 = 7 reste à plat. En bas : 3 + 4 est inférieur à 8, donc les pointes ne se rejoignent jamais.

Deux côtés quelconques ont une somme supérieure au troisième

Les pailles suivent l'inégalité triangulaire. Dans tout triangle, la somme de deux côtés quelconques dépasse le troisième : a + b > c, b + c > a et c + a > b. Il y a trois inégalités, mais inutile de toutes les vérifier. Seul le plus grand côté peut poser problème, car tout côté augmenté d'une quantité positive dépasse un plus petit. Le test rapide : additionne les deux plus courts et compare au plus long. Somme supérieure : triangle. Égale ou inférieure : pas de triangle.

Pense au retour chez toi avec un arrêt dans une supérette. Sauf si elle est exactement sur le trajet rectiligne, le détour est plus long. Maison, école et magasin sont les trois sommets d'un triangle ; le trajet direct est un côté, toujours plus court que les deux autres réunis. C'est pourquoi on traverse les parcs en diagonale et on finit par tracer un chemin dans l'herbe.

Chargement

Fais glisser pour tourner. Fais défiler ou écarte et rapproche deux doigts pour zoomer.

Un triangle bas et aplati. Fais glisser C vers le côté AB. L'angle C monte vers 180° et le triangle s'amincit : les deux côtés AC et CB réunis se rapprochent de plus en plus de la longueur de AB, mais le laboratoire ne les laissera pas lui être égaux, car le triangle disparaîtrait.

Combien peut mesurer le troisième côté ?

La règle encadre aussi un côté inconnu. Supposons deux côtés de 5 cm et 9 cm. Le troisième c doit satisfaire 5 + 9 > c, donc c < 14. Il faut aussi c + 5 > 9, donc c > 4. Ensemble : 4 < c < 14. Le troisième côté est strictement entre la différence et la somme des deux autres. En centimètres entiers, on peut choisir 5, 6, 7 et ainsi jusqu'à 13 : neuf longueurs.

Un piège classique concerne les isocèles. Deux côtés mesurent 4 et 9. Le troisième vaut-il 4 ou 9 ? Essaie 4 : 4, 4, 9 échoue, car 4 + 4 = 8 est inférieur à 9. Il vaut donc 9, les côtés sont 4, 9, 9 et le périmètre 22.

Le plus grand côté est opposé au plus grand angle

Un autre résultat accompagne le premier. Dans tout triangle, le plus grand de deux côtés est opposé au plus grand angle ; le plus long est donc face au plus grand angle et le plus court au plus petit. Éloigne un sommet du côté opposé : l'angle à ce sommet et le côté d'en face grandissent ensemble. Tu sais ainsi sans mesurer que l'hypoténuse est le plus grand côté d'un triangle rectangle : elle est opposée à 90°, les deux autres angles étant plus petits.

ContexteEuclide démontre l'inégalité triangulaire dans la proposition 20 du livre I : deux côtés quelconques ont une somme supérieure au dernier. Il s'appuie sur la proposition 19, selon laquelle le plus grand angle est opposé au plus grand côté. Les notes de D. E. Joyce relient ce résultat au plus court chemin rectiligne et racontent un problème résolu par Héron d'Alexandrie. Deux points sont du même côté d'une droite ; il faut aller de l'un à la droite puis à l'autre par le trajet le plus court. La solution est le chemin dont les angles d'arrivée et de départ sont égaux, comme la lumière réfléchie par un miroir ; la démonstration utilise la proposition 20.
  1. Des baguettes de 2, 3 et 6 cm peuvent-elles former un triangle ?
    • Non
    • Oui
  2. Des baguettes de 5, 7 et 10 cm peuvent-elles former un triangle ?
    • Oui
    • Non
  3. Des baguettes de 4, 4 et 8 cm peuvent-elles former un triangle ?
    • Non, elles restent alignées
    • Oui, un isocèle
    • Oui, un équilatéral
    • Oui, un rectangle
  4. Quel ensemble de longueurs forme un triangle ?
    • 6, 8, 10
    • 1, 2, 3
    • 2, 5, 9
    • 3, 3, 7
  5. Deux côtés mesurent 5 cm et 9 cm. Le troisième mesure un nombre entier de centimètres. Combien de longueurs sont possibles ?
  6. Deux côtés mesurent 7 et 12. Quelle est la plus petite longueur entière possible du troisième ?
  7. Deux côtés mesurent 3 et 10. Quelle est la plus grande longueur entière possible du troisième ?
  8. Deux côtés d'un isocèle mesurent 4 et 9 (l'un se répète). Quel est son périmètre ?
  9. Dans ABC, A = 80°, B = 60°, C = 40°. Quel est le plus grand côté ?
    • BC
    • AC
    • AB
    • Tous égaux
  10. Pourquoi traverse-t-on une pelouse en diagonale plutôt que de longer deux côtés ?
    • Un côté d'un triangle est plus court que les deux autres réunis
    • La diagonale a un angle droit
    • L'herbe allonge les chemins
    • La diagonale est le plus grand côté
Erreurs fréquentes
  • « 3, 4 et 7 forment un triangle très aplati. » Quand la somme des deux petits côtés égale exactement le grand, les trois sommets sont alignés. Il n'y a ni hauteur ni aire, donc pas de triangle. L'inégalité doit être stricte : supérieur, pas égal.
  • « J'ai vérifié 3 + 8 > 4, donc 3, 4, 8 convient. » Ajouter quoi que ce soit au plus grand dépasse toujours un côté plus petit ; cela ne prouve rien. Additionne les deux plus courts et compare au plus long : 3 + 4 = 7 < 8.
  • « Deux côtés font 5 et 9, donc le troisième est entre 5 et 9. » Le troisième peut être plus court que les deux ou plus long que les deux. Les vraies limites sont la différence et la somme : 4 < c < 14. Un côté de 13 ou de 4.5 convient.
Note du professeurLe programme coréen de 2022 ne présente pas l'inégalité triangulaire comme objectif distinct ; elle apparaît au collège lorsqu'on construit un triangle à partir de trois longueurs et qu'on explique la méthode. C'est une bonne activité de découverte. Distribue des pailles de 3, 4, 5, 7 et 8 cm et laisse chercher quels triplets se ferment. Discute le cas 3, 4, 7 : certains vont appuyer sur les pailles pour former un triangle mince et annoncer une réussite. Demande quelle est son aire.
L'essentiel
  • Deux côtés quelconques d'un triangle ont une somme supérieure au troisième.
  • Test rapide : les deux plus petits côtés doivent avoir une somme supérieure au plus grand.
  • Troisième côté c d'un triangle de côtés a et b : |a − b| < c < a + b.
  • Le plus grand côté est opposé au plus grand angle.
Sources de ce cours (7)
  • Curriculum: 교육부 고시 제2022-33호 [별책 8] 수학과 교육과정 (ncic.re.kr/inv/org/download.do?year=2022&seq=10003559&orgType=ogi4, PDF read 2026-10-19: 초등학교 3~4학년군 [4수03-08] 이등변삼각형·정삼각형, [4수03-09] 직각삼각형·예각삼각형·둔각삼각형, [4수03-25] 삼각형과 사각형의 내각의 크기의 합을 여러 가지 방법으로 추론; 초등학교 5~6학년군 [6수03-01] 합동·대응점·대응변·대응각, [6수03-14] 삼각형의 넓이(높이가 삼각형의 외부에 있는 것도 다룸); 중학교 1~3학년군 [9수03-03] 삼각형의 작도, [9수03-04] 삼각형의 합동 조건, [9수03-05] 삼각형의 내각과 외각, [9수03-09] 이등변삼각형의 성질을 합동 조건으로 정당화하고 증명이라는 용어 도입, [9수03-12]·[9수03-13] 닮음·닮음비·삼각형의 닮음 조건, [9수03-15] 피타고라스 정리를 추측하고 정당화, 역은 직관적으로 이해하고 직각삼각형 판별에 사용; 용어와 기호 대변, 대각, 내각, 외각, 증명, 닮음비, △ABC, ≡, ∽)
  • Textbook: OpenStax, Contemporary Mathematics, 10.3 Triangles (triangle from three noncollinear points; acute, right, obtuse; side a opposite angle A; hypotenuse and legs; angle sum 180° by a parallel line and alternate interior angles; x, x + 17, 3x − 62 gives 45°, 62°, 73°; SSS, SAS, ASA, AAS; similar triangles, scaling factor; tower shadow 180 ft with a 9 ft truck and 15 ft shadow gives 108 ft; Thales and the pyramid: openstax.org/books/contemporary-mathematics/pages/10-3-triangles)
  • OpenStax Prealgebra 2e, 9.3 Use Properties of Angles, Triangles, and the Pythagorean Theorem (a² + b² = c²; Pythagoras around 500 BCE; 13 ft ladder 5 ft from the wall; 10 inch bracket about 7.1 inches; similar triangles: openstax.org/books/prealgebra-2e/pages/9-3-use-properties-of-angles-triangles-and-the-pythagorean-theorem)
  • 9.4 Use Properties of Rectangles, Triangles, and Trapezoids (A = ½bh from half a rectangle; isosceles and equilateral; equilateral perimeter 93 in: .../pages/9-4-use-properties-of-rectangles-triangles-and-trapezoids)
  • OpenStax Precalculus 2e, 8.2 Non-right Triangles: Law of Cosines (Heron’s formula with semi-perimeter s; sides 10, 15, 7 give s = 16 and area about 29.4; Chicago lot 62.4, 43.5, 34.1 m gives about 711.4 m²: openstax.org/books/precalculus-2e/pages/8-2-non-right-triangles-law-of-cosines)
  • History for story blocks only: Euclid’s Elements, D. E. Joyce edition, Clark University (Book I Prop. 20 triangle inequality and Heron’s shortest-path problem; Prop. 26 and its guide on congruence theorems, SSA ambiguity and side-side-right angle; Prop. 32 exterior angle and angle sum, Proclus corollaries; Prop. 47 and its guide on Old Babylonians ca. 1900 to 1600 BCE, Plimpton 322, the Zhou bi hypotenuse diagram, Proclus; Prop. 48 converse; Book VI Prop. 4 equiangular triangles: mathcs.clarku.edu/~djoyce/elements/bookI/propI47.html)
  • MacTutor History of Mathematics, University of St Andrews, Heron of Alexandria (formula proved in Metrica Book I; eclipse of 13 March 62; side of 720 about 26 5/6: mathshistory.st-andrews.ac.uk/Biographies/Heron/) MacTutor, "Euclid of Alexandria" (born about 325 BC, died about 265 BC; dating for the Elements, about 2,300 years ago: mathshistory.st-andrews.ac.uk/Biographies/Euclid/, checked 2026-10-19).

Consulté le: 2026-10-19