Rechthoekige driehoeken berekenen

Eén zijde en één scherpe hoek zijn genoeg om al het overige van een rechthoekige driehoek te vinden. Met zijde 7 tegenover een hoek van 30° is de schuine zijde precies 14.

Een ontbrekende zijde vinden

OpenStax zegt het eenvoudig: de echte kracht van goniometrie in rechthoekige driehoeken blijkt als je een hoek kent maar niet alle zijden. De methode heeft drie stappen. Kies eerst de verhouding met de gezochte zijde en een bekende zijde. Schrijf dan de vergelijking met de bekende hoek op. Los ten slotte op naar de onbekende. Neem het voorbeeld van OpenStax zelf: hoek 30°, overstaande zijde 7 en onbekende aanliggende zijde a. Tangens verbindt overstaande en aanliggende, dus tan 30° = 7/a, wat je omschrijft tot a = 7 / tan 30° ≈ 12.1. Voor de schuine zijde c verbindt sinus overstaande en schuine: sin 30° = 7/c, dus c = 7 / sin 30° = 14.

Let op waar de onbekende staat. Staat hij boven in de breuk, dan vermenigvuldig je: een ladder van 5 m onder een hoek van 75° met de grond bereikt een hoogte van 5 sin 75° ≈ 4.83 m en de voet staat 5 cos 75° ≈ 1.29 m van de muur. Staat de onbekende onderin, dan deel je, zoals bij 7 / tan 30° hierboven. Een snelle controle: de schuine zijde moet langer uitkomen dan beide rechthoekszijden en de zijde tegenover de grootste scherpe hoek moet de langste rechthoekszijde zijn.

Een ontbrekende hoek vinden

Soms ken je twee zijden en wil je de hoek weten. Dan gebruik je een verhouding achterstevoren met een inverse functie, geschreven als sin⁻¹, cos⁻¹ en tan⁻¹ (ook arcsinus, arccosinus en arctangens genoemd). Als de overstaande zijde 3 is en de aanliggende zijde 4, dan is tan θ = 3/4 = 0.75 en θ = tan⁻¹(0.75) ≈ 36.87°. De andere scherpe hoek is 90 − 36.87 = 53.13°. De −1 is hier een naam, geen macht: sin⁻¹ x betekent ‘de hoek waarvan de sinus x is’, niet 1 / sin x.

De hele driehoek berekenen

Een rechthoekige driehoek berekenen betekent alle drie zijden en beide scherpe hoeken vinden. Gebruik vanuit twee zijden de stelling van Pythagoras voor de derde en een inverse functie voor een hoek; de laatste hoek is 90° min de eerste. Vanuit één zijde en één hoek is de andere scherpe hoek 90° min de gegeven hoek en geven twee verhoudingen de resterende zijden. Met rechthoekszijden 6 en 8 is bijvoorbeeld de schuine zijde √(36 + 64) = 10, de hoek tegenover 6 is tan⁻¹(6/8) ≈ 36.87° en de andere hoek is ongeveer 53.13°. Het is de 3-4-5-driehoek vergroot met factor 2, dus de hoeken zijn gelijk.

Het helpt om een antwoord met een tweede verhouding te controleren. In het voorbeeld van OpenStax kwamen de zijden uit op 7, ongeveer 12.12 en 14. Dan moet cos 30° gelijk zijn aan 12.12 / 14 ≈ 0.866, en dat klopt: cos 30° = √3/2 ≈ 0.866. Een afwijking betekent dat een van de zijden met de verkeerde verhouding is gevonden.