Risolvere i triangoli rettangoli

Un lato e un angolo acuto bastano per trovare tutto il resto di un triangolo rettangolo. Con il lato 7 opposto a un angolo di 30°, l'ipotenusa è esattamente 14.

Trovare un lato mancante

OpenStax lo dice chiaramente: la vera forza della trigonometria del triangolo rettangolo si vede quando conosci un angolo ma non tutti i lati. Il metodo ha tre passi. Prima scegli il rapporto che contiene il lato che cerchi e un lato che conosci. Poi scrivi l'equazione con l'angolo noto. Infine risolvi rispetto all'incognita. Prendi l'esempio di OpenStax: angolo di 30°, cateto opposto 7, cateto adiacente a sconosciuto. La tangente lega cateto opposto e adiacente, quindi tan 30° = 7/a, che riordinata dà a = 7 / tan 30° ≈ 12.1. Per l'ipotenusa c, il seno lega cateto opposto e ipotenusa: sin 30° = 7/c, quindi c = 7 / sin 30° = 14.

Guarda dove sta l'incognita. Se è al numeratore moltiplichi: una scala lunga 5 m appoggiata con un angolo di 75° rispetto al suolo arriva a un'altezza di 5 sin 75° ≈ 4.83 m, e il suo piede sta a 5 cos 75° ≈ 1.29 m dal muro. Se l'incognita è al denominatore dividi, come con il 7 / tan 30° di prima. Un controllo rapido: l'ipotenusa deve risultare più lunga di entrambi i cateti, e il lato opposto all'angolo acuto maggiore deve essere il cateto maggiore.

Trovare un angolo mancante

A volte conosci due lati e cerchi l'angolo. Allora fai il percorso inverso con una funzione inversa, scritta sin⁻¹, cos⁻¹ e tan⁻¹ (detta anche arcoseno, arcocoseno e arcotangente). Se il cateto opposto è 3 e quello adiacente è 4, allora tan θ = 3/4 = 0.75 e θ = tan⁻¹(0.75) ≈ 36.87°. L'altro angolo acuto è 90 − 36.87 = 53.13°. Il −1 qui è un nome, non una potenza: sin⁻¹ x significa «l'angolo il cui seno è x», non 1 / sin x.

Risolvere tutto il triangolo

Risolvere un triangolo rettangolo significa trovare tutti e tre i lati e entrambi gli angoli acuti. Da due lati, usa il teorema di Pitagora per il terzo e una funzione inversa per un angolo; l'ultimo angolo è 90° meno il primo. Da un lato e un angolo, l'altro angolo acuto è 90° meno quello dato, e due rapporti danno i lati rimanenti. Con cateti 6 e 8, per esempio, l'ipotenusa è √(36 + 64) = 10, l'angolo opposto a 6 è tan⁻¹(6/8) ≈ 36.87° e l'altro angolo è circa 53.13°. È il triangolo 3-4-5 ingrandito di 2, quindi gli angoli coincidono.

Conviene verificare una risposta con un secondo rapporto. Nell'esempio di OpenStax i lati risultavano 7, circa 12.12 e 14. Allora cos 30° dovrebbe essere uguale a 12.12 / 14 ≈ 0.866, ed è così: cos 30° = √3/2 ≈ 0.866. Se non torna, uno dei lati è stato trovato con il rapporto sbagliato.