Seno, coseno e tangente
In ogni triangolo rettangolo con un angolo di 35°, il lato opposto a quell'angolo è circa 0.574 volte il lato più lungo, che il triangolo sia disegnato su un tovagliolo o attraverso una valle.
Dare un nome ai lati a partire da un angolo
La trigonometria parte da un triangolo rettangolo e da uno dei suoi due angoli acuti, di solito chiamato θ (theta). Il lato più lungo, di fronte all'angolo retto, è l'ipotenusa. Gli altri due lati, i cateti, prendono il nome da θ. Il cateto che tocca θ è il cateto adiacente, dal latino «che giace accanto». Il cateto dall'altra parte del triangolo rispetto a θ è il cateto opposto. Se scegli l'altro angolo acuto, i nomi di questi due lati si scambiano, come OpenStax fa notare esplicitamente: il cateto adiacente a un angolo acuto è opposto all'altro.
Tre rapporti
Dividi un lato per un altro e ottieni un rapporto. Tre di questi rapporti hanno un nome. Il seno di θ è cateto opposto su ipotenusa. Il coseno di θ è cateto adiacente su ipotenusa. La tangente di θ è cateto opposto su cateto adiacente. OpenStax propone il promemoria inglese SohCahToa: Sine is Opposite over Hypotenuse, Cosine is Adjacent over Hypotenuse, Tangent is Opposite over Adjacent. In un triangolo con lati 3, 4 e 5, l'angolo opposto al lato 4 ha sin = 4/5 = 0.8, cos = 3/5 = 0.6 e tan = 4/3, circa 1.333.
sin θ = cateto opposto / ipotenusa, cos θ = cateto adiacente / ipotenusa, tan θ = cateto opposto / cateto adiacente.
Perché il rapporto dipende solo dall'angolo
Disegna due triangoli rettangoli con lo stesso angolo di 35°, uno piccolo e uno grande. I loro tre angoli coincidono (35°, 90° e 55°), quindi sono simili: quello grande è una copia ingrandita di quello piccolo. Ingrandire moltiplica ogni lato per lo stesso numero, e quel numero si semplifica in qualsiasi rapporto tra due lati. Così sin 35° è un unico numero, circa 0.5736, per quanto grande sia il triangolo. È questo che permette a una calcolatrice di memorizzarlo. Nel laboratorio tieni fisso θ e trascina il cursore dell'ipotenusa: tutte le lunghezze cambiano, i rapporti no.
Trascina per ruotare. Scorri o avvicina le dita per lo zoom.
Una calcolatrice dà questi valori direttamente, ma controlla che sia impostata in gradi (spesso indicato con DEG). In modalità radianti, sin 30 restituisce circa −0.988 invece di 0.5, perché legge il 30 come 30 radianti. OpenStax definisce anche tre rapporti reciproci: secante = ipotenusa / cateto adiacente, cosecante = ipotenusa / cateto opposto e cotangente = cateto adiacente / cateto opposto. Sono i primi tre capovolti, quindi questo corso lavora con seno, coseno e tangente.
- Quale lato è l'ipotenusa?
- il lato opposto all'angolo retto
- il lato accanto a θ
- il lato opposto a θ
- il lato più corto
- Lati 5, 12, 13. L'angolo θ è opposto al lato 5. sin θ con 4 cifre decimali?
- Stesso triangolo. cos θ con 4 cifre decimali?
- Stesso triangolo. tan θ come frazione?
- Esempio di OpenStax: cateto adiacente 15, ipotenusa 17. cos α?
- Un triangolo con lati 6, 8, 10 confrontato con uno con lati 3, 4, 5. Per angoli corrispondenti, il seno è:
- uguale
- il doppio
- la metà
- il quadruplo
- Ipotenusa 6 e θ = 35°. Lunghezza del cateto opposto, con 2 cifre decimali?
- tan 35° con 4 cifre decimali?
- sin 30 sulla calcolatrice dà −0.988. Che cosa non va?
- è in modalità radianti
- la batteria è scarica
- il seno può essere negativo
- niente
- In un triangolo rettangolo, sin θ è sempre:
- tra 0 e 1
- maggiore di 1
- uguale a tan θ
- negativo
- Lati 3, 4, 5 con θ opposto al 4. sec θ = ipotenusa / cateto adiacente?
- Ipotenusa: di fronte all'angolo retto. Cateto opposto e adiacente dipendono da θ.
- sin = opp/ipot, cos = adiac/ipot, tan = opp/adiac (SohCahToa).
- Triangoli simili danno gli stessi rapporti, quindi ogni angolo ha un solo seno, coseno e tangente.
- Imposta la calcolatrice in gradi.
- sec, csc, cot sono i reciproci di cos, sin, tan.
Fonti di questo corso (6)
- OpenStax, Algebra and Trigonometry 2e : 7.2 Right Triangle Trigonometry (sin = opposite/hypotenuse, cos = adjacent/hypotenuse, tan = opposite/adjacent, mnemonic SohCahToa; reciprocal functions sec, csc, cot; 3-4-5 example; cos α = 15/17; 30-60-90 sides s, √3s, 2s and 45-45-90 sides s, s, √2s; cofunction identity for complementary angles, cos 34° = sin 56° form; tan 30° = 7/a gives a ≈ 12.1 and c = 7/sin 30° = 14; angle of elevation and depression; tree 30 ft at 57° ≈ 46.2 ft: openstax.org/books/algebra-and-trigonometry-2e/pages/7-2-right-triangle-trigonometry)
- OpenStax Precalculus 2e: 5.1 Angles (one degree is 1/360 of a rotation; one radian intercepts an arc equal to the radius; arc length s = rθ: openstax.org/books/precalculus-2e/pages/5-1-angles)
- 5.2 Unit Circle: Sine and Cosine Functions (cos t = x, sin t = y; Pythagorean Identity cos²t + sin²t = 1: .../pages/5-2-unit-circle-sine-and-cosine-functions)
- 6.1 Graphs of the Sine and Cosine Functions (period 2π; amplitude |A|; period P = 2π/|B| for y = A sin(Bx − C) + D: .../pages/6-1-graphs-of-the-sine-and-cosine-functions)
- MacTutor History of Mathematics, University of St Andrews: "The trigonometric functions" (first known table of chords by Hipparchus about 140 BC, founder of trigonometry; Ptolemy's 360° and Babylonian influence; Aryabhata about 500 used jya for sine; Brahmagupta 628; Abu'l-Wafa 980; jya → jiba → jaib (fold) → Latin sinus; Regiomontanus' De triangulis written about 1464, published 1533; tangent named by Thomas Fincke in 1583; Gunter co-sinus 1620, abbreviation sin 1624; Hérigone first used sin in a book in 1634; Thales used shadows to find the heights of pyramids: mathshistory.st-andrews.ac.uk/HistTopics/Trigonometric_functions/) and "Thales of Miletus" (Hieronymus via Diogenes Laertius: shadows measured when our shadows equal our height; Plutarch's version with a stick at the end of the pyramid's shadow and two triangles in the same ratio: mathshistory.st-andrews.ac.uk/Biographies/Thales/)
- OpenStax Calculus Volume 1, 3.5 Derivatives of Trigonometric Functions (d/dx sin x = cos x with x in radians: openstax.org/books/calculus-volume-1/pages/3-5-derivatives-of-trigonometric-functions)
Consultato il: 2026-10-17