Sinus, cosinus en tangens
In elke rechthoekige driehoek met een hoek van 35° is de zijde tegenover die hoek ongeveer 0.574 van de langste zijde, of de driehoek nu op een servet is getekend of over een dal ligt.
Zijden benoemen vanuit een hoek
Goniometrie begint met een rechthoekige driehoek en één van de twee scherpe hoeken, meestal θ (theta) genoemd. De langste zijde, tegenover de rechte hoek, is de schuine zijde. De andere twee zijden krijgen hun naam vanuit θ. De zijde die aan θ grenst en niet de schuine zijde is, heet de aanliggende zijde, naar het Latijn voor ‘ernaast liggend’. De zijde aan de overkant van θ heet de overstaande zijde. Kies je in plaats daarvan de andere scherpe hoek, dan wisselen de namen van deze twee zijden. OpenStax wijst daar nadrukkelijk op: de zijde die aan de ene scherpe hoek ligt, staat tegenover de andere.
Drie verhoudingen
Deel de ene zijde door een andere en je krijgt een verhouding. Drie van deze verhoudingen hebben namen. De sinus van θ is overstaande gedeeld door schuine zijde. De cosinus van θ is aanliggende gedeeld door schuine zijde. De tangens van θ is overstaande gedeeld door aanliggende zijde. OpenStax geeft het ezelsbruggetje SohCahToa: Sine is Opposite over Hypotenuse, Cosine is Adjacent over Hypotenuse, Tangent is Opposite over Adjacent. In een driehoek met zijden 3, 4 en 5 heeft de hoek tegenover zijde 4 sin = 4/5 = 0.8, cos = 3/5 = 0.6 en tan = 4/3, ongeveer 1.333.
sin θ = overstaande / schuine, cos θ = aanliggende / schuine, tan θ = overstaande / aanliggende.
Waarom alleen de hoek de verhouding bepaalt
Teken twee rechthoekige driehoeken met dezelfde hoek van 35°, een kleine en een grote. Hun drie hoeken komen overeen (35°, 90° en 55°), dus ze zijn gelijkvormig: de grote is een vergrote kopie van de kleine. Bij vergroten vermenigvuldig je elke zijde met hetzelfde getal en dat getal valt weg in elke verhouding van twee zijden. Dus sin 35° is één getal, ongeveer 0.5736, ongeacht hoe groot de driehoek is. Daardoor kan een rekenmachine het opslaan. Houd in het lab θ vast en versleep de schuifknop voor de schuine zijde: elke lengte verandert, de verhoudingen niet.
Sleep om te draaien. Scroll of knijp om te zoomen.
Een rekenmachine geeft deze waarden direct, maar controleer of hij op graden staat (vaak aangegeven met DEG). In de radialenstand geeft sin 30 ongeveer −0.988 in plaats van 0.5, omdat hij de 30 als 30 radialen leest. OpenStax definieert ook drie omgekeerde verhoudingen: secans = schuine / aanliggende, cosecans = schuine / overstaande en cotangens = aanliggende / overstaande. Het zijn de eerste drie op hun kop, dus in deze cursus werk je met sinus, cosinus en tangens.
- Welke zijde is de schuine zijde?
- de zijde tegenover de rechte hoek
- de zijde naast θ
- de zijde tegenover θ
- de kortste zijde
- Zijden 5, 12, 13. Hoek θ ligt tegenover zijde 5. Wat is sin θ op 4 decimalen?
- Dezelfde driehoek. Wat is cos θ op 4 decimalen?
- Dezelfde driehoek. Wat is tan θ als breuk?
- Voorbeeld van OpenStax: aanliggende zijde 15, schuine zijde 17. Wat is cos α?
- Een driehoek met zijden 6, 8, 10 vergeleken met een driehoek met zijden 3, 4, 5. Voor overeenkomstige hoeken is de sinus:
- gelijk
- tweemaal zo groot
- half zo groot
- viermaal zo groot
- Schuine zijde 6 en θ = 35°. Wat is de lengte van de overstaande zijde op 2 decimalen?
- Wat is tan 35° op 4 decimalen?
- sin 30 op een rekenmachine geeft −0.988. Wat is er mis?
- hij staat in de radialenstand
- de batterij is bijna leeg
- de sinus kan negatief zijn
- niets
- In een rechthoekige driehoek is sin θ altijd:
- tussen 0 en 1
- meer dan 1
- gelijk aan tan θ
- negatief
- Zijden 3, 4, 5 met θ tegenover de 4. Wat is sec θ = schuine / aanliggende?
- Schuine zijde: tegenover de rechte hoek. Overstaande en aanliggende hangen af van θ.
- sin = ov/sch, cos = aan/sch, tan = ov/aan (SohCahToa).
- Gelijkvormige driehoeken geven dezelfde verhoudingen, dus elke hoek heeft één sinus, cosinus en tangens.
- Zet de rekenmachine op graden.
- sec, csc, cot zijn de omgekeerden van cos, sin, tan.
Bronnen van deze cursus (6)
- OpenStax, Algebra and Trigonometry 2e : 7.2 Right Triangle Trigonometry (sin = opposite/hypotenuse, cos = adjacent/hypotenuse, tan = opposite/adjacent, mnemonic SohCahToa; reciprocal functions sec, csc, cot; 3-4-5 example; cos α = 15/17; 30-60-90 sides s, √3s, 2s and 45-45-90 sides s, s, √2s; cofunction identity for complementary angles, cos 34° = sin 56° form; tan 30° = 7/a gives a ≈ 12.1 and c = 7/sin 30° = 14; angle of elevation and depression; tree 30 ft at 57° ≈ 46.2 ft: openstax.org/books/algebra-and-trigonometry-2e/pages/7-2-right-triangle-trigonometry)
- OpenStax Precalculus 2e: 5.1 Angles (one degree is 1/360 of a rotation; one radian intercepts an arc equal to the radius; arc length s = rθ: openstax.org/books/precalculus-2e/pages/5-1-angles)
- 5.2 Unit Circle: Sine and Cosine Functions (cos t = x, sin t = y; Pythagorean Identity cos²t + sin²t = 1: .../pages/5-2-unit-circle-sine-and-cosine-functions)
- 6.1 Graphs of the Sine and Cosine Functions (period 2π; amplitude |A|; period P = 2π/|B| for y = A sin(Bx − C) + D: .../pages/6-1-graphs-of-the-sine-and-cosine-functions)
- MacTutor History of Mathematics, University of St Andrews: "The trigonometric functions" (first known table of chords by Hipparchus about 140 BC, founder of trigonometry; Ptolemy's 360° and Babylonian influence; Aryabhata about 500 used jya for sine; Brahmagupta 628; Abu'l-Wafa 980; jya → jiba → jaib (fold) → Latin sinus; Regiomontanus' De triangulis written about 1464, published 1533; tangent named by Thomas Fincke in 1583; Gunter co-sinus 1620, abbreviation sin 1624; Hérigone first used sin in a book in 1634; Thales used shadows to find the heights of pyramids: mathshistory.st-andrews.ac.uk/HistTopics/Trigonometric_functions/) and "Thales of Miletus" (Hieronymus via Diogenes Laertius: shadows measured when our shadows equal our height; Plutarch's version with a stick at the end of the pyramid's shadow and two triangles in the same ratio: mathshistory.st-andrews.ac.uk/Biographies/Thales/)
- OpenStax Calculus Volume 1, 3.5 Derivatives of Trigonometric Functions (d/dx sin x = cos x with x in radians: openstax.org/books/calculus-volume-1/pages/3-5-derivatives-of-trigonometric-functions).
Geraadpleegd: 2026-10-17