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ホーム›図形と作図›三角比

サイン・コサイン・タンジェント

35°の角をもつ直角三角形なら、ナプキンに描いても谷をまたいで描いても、その角の対辺はいちばん長い辺の約 0.574 倍です。

角から辺に名前をつける

三角比は、直角三角形とその二つの鋭角のうちの一つから始まります。その角はふつう θ（シータ）と呼びます。直角の向かいにあるいちばん長い辺が斜辺です。ほかの二辺の名前は θ によって決まります。θ に接していて斜辺でない辺が隣辺で、英語の adjacent はラテン語の「隣に横たわる」に由来します。三角形の中で θ の向かいにある辺が対辺です。もう一方の鋭角を選ぶと、この二辺の名前は入れかわります。OpenStax もはっきり指摘しているとおり、一方の鋭角の隣辺は、もう一方の鋭角の対辺です。

θ から見ると、a が対辺、b が隣辺、c が斜辺です。名前はいつも選んだ角によって決まります。

三つの比

ある辺を別の辺でわると比が得られます。そのうち三つの比には名前があります。θ のサイン（正弦）は対辺÷斜辺、θ のコサイン（余弦）は隣辺÷斜辺、θ のタンジェント（正接）は対辺÷隣辺です。OpenStax は覚え方として SohCahToa を紹介しています。Sine is Opposite over Hypotenuse（サインは対辺÷斜辺）、Cosine is Adjacent over Hypotenuse（コサインは隣辺÷斜辺）、Tangent is Opposite over Adjacent（タンジェントは対辺÷隣辺）の頭文字です。3、4、5 の辺をもつ三角形では、辺 4 の向かいの角について sin = 4/5 = 0.8、cos = 3/5 = 0.6、tan = 4/3 で約 1.333 です。

sin θ = 対辺 / 斜辺、cos θ = 隣辺 / 斜辺、tan θ = 対辺 / 隣辺。

角だけで比が決まるのはなぜか

同じ 35° の角をもつ直角三角形を、小さいものと大きいものの二つ描いてみましょう。三つの角（35°、90°、55°）が一致するので、二つは相似です。大きいほうは小さいほうを拡大したものです。拡大すると、すべての辺に同じ数がかけられ、その数は二辺の比をとると約分されて消えます。だから sin 35° は三角形の大きさに関係なく、約 0.5736 というただ一つの数です。電卓がその値を記憶しておけるのはこのためです。ラボで θ を固定して斜辺のスライダーを動かしてみましょう。長さはすべて変わりますが、比は変わりません。

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単位正方形の方眼の上の直角三角形。上の頂点をドラッグするかスライダーを使います。sin、cos、tan を選ぶと、その比の二辺が光ります。

電卓を使えばこれらの値がすぐにわかりますが、度（よく DEG と表示されます）に設定されているか確かめましょう。ラジアンのモードでは、30 を 30 ラジアンと読むので、sin 30 は 0.5 ではなく約 −0.988 になります。OpenStax はさらに三つの逆数の比も定義しています。セカント = 斜辺 / 隣辺、コセカント = 斜辺 / 対辺、コタンジェント = 隣辺 / 対辺です。これらは最初の三つを逆さにしたものなので、このコースではサイン、コサイン、タンジェントを使います。

背景MacTutor によると、三角比の起源は天文学にあります。知られている最初の表は弦の表でした。弦とは、ある角で切り取られる円を横切る線分です。これはギリシャの天文学者ヒッパルコスが紀元前140年ごろに作りました。表そのものは残っていませんが、彼は十二巻もの表を書いたといわれ、MacTutor が彼を三角法の創始者と呼ぶのはそのためです。tangent という語はずっと後のもので、デンマークの数学者トーマス・フィンケが1583年に初めて使いました。
  1. 斜辺はどの辺ですか？
    • 直角の向かいにある辺
    • θ の隣の辺
    • θ の向かいにある辺
    • いちばん短い辺
  2. 辺は 5、12、13。角 θ は辺 5 の向かいにあります。sin θ を小数第4位まで答えましょう。
  3. 同じ三角形。cos θ を小数第4位まで答えましょう。
  4. 同じ三角形。tan θ を分数で答えましょう。
  5. OpenStax の例：隣辺 15、斜辺 17。cos α は？
  6. 辺が 6、8、10 の三角形と、辺が 3、4、5 の三角形を比べます。対応する角のサインは：
    • 同じ
    • 二倍
    • 半分
    • 四倍
  7. 斜辺 6、θ = 35°。対辺の長さを小数第2位まで答えましょう。
  8. tan 35° を小数第4位まで答えましょう。
  9. 電卓で sin 30 を計算すると −0.988 になりました。何がおかしいのでしょう？
    • ラジアンのモードになっている
    • 電池が切れかけている
    • サインは負になることがある
    • 何もおかしくない
  10. 直角三角形では、sin θ はいつも：
    • 0 と 1 の間
    • 1 より大きい
    • tan θ と等しい
    • 負
  11. 辺 3、4、5 で、θ は 4 の向かい。sec θ = 斜辺 / 隣辺 は？
ポイント
  • 斜辺：直角の向かい。対辺と隣辺は θ によって決まります。
  • sin = 対辺/斜辺、cos = 隣辺/斜辺、tan = 対辺/隣辺（SohCahToa）。
  • 相似な三角形は比が同じなので、角ごとにサイン、コサイン、タンジェントがただ一つに決まります。
  • 電卓は度に設定します。
  • sec、csc、cot は cos、sin、tan の逆数です。
このコースの出典 (6)
  • OpenStax, Algebra and Trigonometry 2e : 7.2 Right Triangle Trigonometry (sin = opposite/hypotenuse, cos = adjacent/hypotenuse, tan = opposite/adjacent, mnemonic SohCahToa; reciprocal functions sec, csc, cot; 3-4-5 example; cos α = 15/17; 30-60-90 sides s, √3s, 2s and 45-45-90 sides s, s, √2s; cofunction identity for complementary angles, cos 34° = sin 56° form; tan 30° = 7/a gives a ≈ 12.1 and c = 7/sin 30° = 14; angle of elevation and depression; tree 30 ft at 57° ≈ 46.2 ft: openstax.org/books/algebra-and-trigonometry-2e/pages/7-2-right-triangle-trigonometry)
  • OpenStax Precalculus 2e: 5.1 Angles (one degree is 1/360 of a rotation; one radian intercepts an arc equal to the radius; arc length s = rθ: openstax.org/books/precalculus-2e/pages/5-1-angles)
  • 5.2 Unit Circle: Sine and Cosine Functions (cos t = x, sin t = y; Pythagorean Identity cos²t + sin²t = 1: .../pages/5-2-unit-circle-sine-and-cosine-functions)
  • 6.1 Graphs of the Sine and Cosine Functions (period 2π; amplitude |A|; period P = 2π/|B| for y = A sin(Bx − C) + D: .../pages/6-1-graphs-of-the-sine-and-cosine-functions)
  • MacTutor History of Mathematics, University of St Andrews: "The trigonometric functions" (first known table of chords by Hipparchus about 140 BC, founder of trigonometry; Ptolemy's 360° and Babylonian influence; Aryabhata about 500 used jya for sine; Brahmagupta 628; Abu'l-Wafa 980; jya → jiba → jaib (fold) → Latin sinus; Regiomontanus' De triangulis written about 1464, published 1533; tangent named by Thomas Fincke in 1583; Gunter co-sinus 1620, abbreviation sin 1624; Hérigone first used sin in a book in 1634; Thales used shadows to find the heights of pyramids: mathshistory.st-andrews.ac.uk/HistTopics/Trigonometric_functions/) and "Thales of Miletus" (Hieronymus via Diogenes Laertius: shadows measured when our shadows equal our height; Plutarch's version with a stick at the end of the pyramid's shadow and two triangles in the same ratio: mathshistory.st-andrews.ac.uk/Biographies/Thales/)
  • OpenStax Calculus Volume 1, 3.5 Derivatives of Trigonometric Functions (d/dx sin x = cos x with x in radians: openstax.org/books/calculus-volume-1/pages/3-5-derivatives-of-trigonometric-functions)

確認日: 2026-10-17