edubun
日本語
English한국어EspañolPortuguêsFrançaisDeutschItalianoРусскийBahasa Indonesia日本語
ホーム›図形と作図›三角比

ラジアンと単位円

円の半径を円周に沿わせると、それがつくる角が 1 ラジアン、約 57.3° です。六つより少し多く並べると円を一周します。

半径で角を測る

度は人間が決めたものです。一回転を 360 に分けるのは、バビロニアの天文学から受け継いだ数です。ラジアンは円そのものから生まれます。OpenStax Precalculus は、1 ラジアンを、弧の長さが半径と等しくなる中心角と定義しています。円周は 2πr なので、半径の長さがちょうど 2π 個分ぐるりと入り、一回転は 2π ラジアンです。これで換算が決まります：2π rad = 360°、つまり π rad = 180°。

オレンジの弧は緑の半径と同じ長さです。その角が 1 ラジアンです。

度をラジアンに直すには π/180 をかけ、戻すには 180/π をかけます。だから 45° = 45 × π/180 = π/4、30° = π/6、90° = π/2 で、2π/3 ラジアンは 2π/3 × 180/π = 120° です。1 ラジアンは 180/π ≈ 57.2958° です。ラジアンを使うと弧の長さが簡単になります。θ ラジアンの角は長さ s = rθ の弧を切り取ります。半径 5 cm の円では、2 ラジアンで 10 cm の弧になります。度の場合は先に換算が必要です。半径 10 cm の円で 60° は π/3 ラジアンなので、弧は 10π/3 ≈ 10.47 cm です。

単位円

直角三角形の角は 90° までですが、回転はもっと先まで続きます。単位円はこの制限をなくします。単位円とは、原点を中心とする半径 1 の円です。点 (1, 0) から始めて、反時計回りに角 t だけ回ります。Precalculus は、たどり着いた点の x 座標を t のコサイン、y 座標を t のサインと定義しています：(x, y) = (cos t, sin t)。0° から 90° の角では、これは三角形の場合と一致します。半径は長さ 1 の斜辺なので、横の辺が cos t、縦の辺が sin t です。

読み込み中

ドラッグで回転、スクロールまたはピンチで拡大・縮小。

点を円に沿ってドラッグしましょう。青い線分が cos θ、緑の線分が sin θ です。「単位」を「ラジアン」に切りかえると、角が π で表示されます。

90° を過ぎると座標に符号がつきます。150° では点は左上にあるので、cos 150° = −√3/2、sin 150° = 1/2 です。180° では点は (−1, 0) です。第3象限では両方の座標が負なので、sin 210° = −1/2 です。タンジェントは y/x で半径の傾きです。x = 0 となる 90° と 270° では存在しません。

cos² + sin² = 1

単位円上の点はどれも原点からの距離が 1 なので、x² + y² = 1 です。x = cos t、y = sin t を代入すると cos²t + sin²t = 1 となり、Precalculus はこれをピタゴラスの恒等式と呼んでいます。これを使うと一方の値からもう一方の値が求められます。sin t = 3/5 で角が第2象限にあるなら、cos²t = 1 − 9/25 = 16/25 で、そこでは x が負なので cos t = −4/5 です。

そもそもなぜラジアンを使うのでしょうか。公式がすっきりするからです。弧の長さ s = rθ には余計な π/180 がつきませんし、微分では x がラジアンのときだけ sin x の導関数が cos x になります。そのため、ほとんどの科学とすべての微積分の授業ではラジアンを使い、度は方位や屋根の勾配のような日常の角に使われます。

  1. 45° をラジアンで表すと？
    • π/4
    • π/2
    • π/3
    • 4π
  2. 2π/3 ラジアンを度で表すと？
  3. 1 ラジアンは何度ですか？小数第2位まで答えましょう。
  4. 半径 5 cm、角 2 ラジアン。弧の長さは？
  5. 半径 10 cm、角 60°。弧の長さを小数第2位まで答えましょう。
  6. cos 180° は？
  7. sin 210° は？
  8. コサインが負でサインが正になるのは第何象限ですか？
    • II
    • I
    • III
    • IV
  9. sin t = 3/5 で、t は第2象限の角です。cos t を小数で答えましょう。
  10. tan θ が定義されないのはどこですか？
    • 90° と 270°
    • 0° と 180°
    • 45° と 225°
    • どこにもない
  11. cos²(1.2) + sin²(1.2) は？（1.2 はラジアン）
ポイント
  • 1 ラジアン：弧の長さが半径と等しくなる角。2π rad = 360°、π rad = 180°。
  • 度 → ラジアン：× π/180。ラジアン → 度：× 180/π。
  • 弧の長さ s = rθ（θ はラジアン）。
  • 単位円：(cos t, sin t)。符号は象限で決まり、tan = y/x。
  • cos²t + sin²t = 1。
このコースの出典 (6)
  • OpenStax, Algebra and Trigonometry 2e : 7.2 Right Triangle Trigonometry (sin = opposite/hypotenuse, cos = adjacent/hypotenuse, tan = opposite/adjacent, mnemonic SohCahToa; reciprocal functions sec, csc, cot; 3-4-5 example; cos α = 15/17; 30-60-90 sides s, √3s, 2s and 45-45-90 sides s, s, √2s; cofunction identity for complementary angles, cos 34° = sin 56° form; tan 30° = 7/a gives a ≈ 12.1 and c = 7/sin 30° = 14; angle of elevation and depression; tree 30 ft at 57° ≈ 46.2 ft: openstax.org/books/algebra-and-trigonometry-2e/pages/7-2-right-triangle-trigonometry)
  • OpenStax Precalculus 2e: 5.1 Angles (one degree is 1/360 of a rotation; one radian intercepts an arc equal to the radius; arc length s = rθ: openstax.org/books/precalculus-2e/pages/5-1-angles)
  • 5.2 Unit Circle: Sine and Cosine Functions (cos t = x, sin t = y; Pythagorean Identity cos²t + sin²t = 1: .../pages/5-2-unit-circle-sine-and-cosine-functions)
  • 6.1 Graphs of the Sine and Cosine Functions (period 2π; amplitude |A|; period P = 2π/|B| for y = A sin(Bx − C) + D: .../pages/6-1-graphs-of-the-sine-and-cosine-functions)
  • MacTutor History of Mathematics, University of St Andrews: "The trigonometric functions" (first known table of chords by Hipparchus about 140 BC, founder of trigonometry; Ptolemy's 360° and Babylonian influence; Aryabhata about 500 used jya for sine; Brahmagupta 628; Abu'l-Wafa 980; jya → jiba → jaib (fold) → Latin sinus; Regiomontanus' De triangulis written about 1464, published 1533; tangent named by Thomas Fincke in 1583; Gunter co-sinus 1620, abbreviation sin 1624; Hérigone first used sin in a book in 1634; Thales used shadows to find the heights of pyramids: mathshistory.st-andrews.ac.uk/HistTopics/Trigonometric_functions/) and "Thales of Miletus" (Hieronymus via Diogenes Laertius: shadows measured when our shadows equal our height; Plutarch's version with a stick at the end of the pyramid's shadow and two triangles in the same ratio: mathshistory.st-andrews.ac.uk/Biographies/Thales/)
  • OpenStax Calculus Volume 1, 3.5 Derivatives of Trigonometric Functions (d/dx sin x = cos x with x in radians: openstax.org/books/calculus-volume-1/pages/3-5-derivatives-of-trigonometric-functions)

確認日: 2026-10-17