Bogenmaß und Einheitskreis

Leg den Radius eines Kreises an seinen Rand, und der Winkel, den er überdeckt, ist ein Radiant, etwa 57.3°. Etwas mehr als sechs davon gehen um den Kreis.

Winkel mit dem Radius messen

Grad sind eine menschliche Wahl: 360 Teile einer Umdrehung, eine Zahl, die aus der babylonischen Astronomie stammt. Das Bogenmaß kommt vom Kreis selbst. OpenStax Precalculus definiert einen Radiant als den Mittelpunktswinkel, dessen Bogen genauso lang ist wie der Radius. Weil der Umfang eines Kreises 2πr beträgt, passen genau 2π Radiuslängen um ihn herum, also ist eine volle Umdrehung 2π Radiant. Damit liegt die Umrechnung fest: 2π rad = 360° oder π rad = 180°.

Um Grad in Bogenmaß umzurechnen, multiplizierst du mit π/180; zurück multiplizierst du mit 180/π. Also ist 45° = 45 × π/180 = π/4, 30° = π/6 und 90° = π/2, während 2π/3 Radiant 2π/3 × 180/π = 120° sind. Ein Radiant ist 180/π ≈ 57.2958°. Im Bogenmaß wird die Bogenlänge einfach: Ein Winkel von θ Radiant schneidet einen Bogen der Länge s = rθ ab. Auf einem Kreis mit Radius 5 cm schneiden 2 Radiant einen Bogen von 10 cm ab. Bei Grad musst du zuerst umrechnen: 60° auf einem Kreis mit Radius 10 cm sind π/3 Radiant, das ergibt einen Bogen von 10π/3 ≈ 10.47 cm.

Der Einheitskreis

Ein rechtwinkliges Dreieck hat nur Winkel bis 90°, aber Drehungen gehen weiter. Der Einheitskreis hebt diese Grenze auf. Er ist der Kreis mit Radius 1 um den Ursprung. Starte am Punkt (1, 0) und dreh dich um einen Winkel t gegen den Uhrzeigersinn. Precalculus definiert den Kosinus von t als die x-Koordinate des erreichten Punkts und den Sinus von t als seine y-Koordinate: (x, y) = (cos t, sin t). Für Winkel zwischen 0° und 90° stimmt das mit dem Dreieck überein: Der Radius ist eine Hypotenuse der Länge 1, also ist die waagerechte Kathete cos t und die senkrechte Kathete sin t.

Über 90° bekommen die Koordinaten Vorzeichen. Bei 150° liegt der Punkt oben links, also ist cos 150° = −√3/2 und sin 150° = 1/2. Bei 180° ist der Punkt (−1, 0). Im dritten Quadranten sind beide Koordinaten negativ, also ist sin 210° = −1/2. Der Tangens ist y/x, die Steigung des Radius, und er existiert bei 90° und 270° nicht, wo x = 0 ist.

cos² + sin² = 1

Jeder Punkt auf dem Einheitskreis hat vom Ursprung den Abstand 1, also gilt x² + y² = 1. Setzt man x = cos t und y = sin t ein, erhält man cos²t + sin²t = 1, was Precalculus den trigonometrischen Pythagoras nennt. Damit kann man einen Wert aus dem anderen bestimmen. Ist sin t = 3/5 und liegt der Winkel im zweiten Quadranten, ist cos²t = 1 − 9/25 = 16/25, und weil x dort negativ ist, gilt cos t = −4/5.

Wozu überhaupt Bogenmaß? Weil es Formeln sauber macht. Die Bogenlänge s = rθ hat keinen störenden Faktor π/180, und in der Analysis ist die Ableitung von sin x nur dann cos x, wenn x im Bogenmaß steht. Deshalb arbeiten die meisten Naturwissenschaften und jeder Analysiskurs im Bogenmaß, und Grad bleiben für alltägliche Winkel wie Kompassrichtungen und Dachneigungen.