Graphen von Sinus und Kosinus
Verfolge die Höhe eines Punktes, der um einen Kreis läuft, und trag sie über dem Winkel auf: Eine Runde zeichnet eine ganze Welle, 2π lang.
Vom Kreis zur Welle
In der vorigen Einheit war der Sinus eines Winkels die Höhe eines Punktes auf dem Einheitskreis. Mach jetzt den Winkel, im Bogenmaß gemessen, zur waagerechten Achse eines Graphen und trag diese Höhe darüber auf. Bei 0 liegt der Punkt bei (1, 0), Höhe 0. Er steigt bei π/2 auf die Höhe 1, kehrt bei π auf 0 zurück, sinkt bei 3π/2 auf −1 und kommt bei 2π wieder auf 0, wo er angefangen hat. Die Kurve, die dabei entsteht, ist die Sinuskurve. Läuft man weiter im Kreis, wiederholt sich dieselbe Form.
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Periode und Wertebereich
OpenStax Precalculus beschreibt die wichtigsten Eigenschaften. Der Graph wiederholt sich nach 2π, also ist der Sinus eine periodische Funktion mit der Periode 2π: sin(x + 2π) = sin x für jedes x. Die Werte liegen nie über 1 oder unter −1, weil der Punkt auf einem Kreis mit Radius 1 bleibt. Die Welle schneidet die Achse bei jedem Vielfachen von π, erreicht ihre Hochpunkte bei π/2 plus ganzen Umdrehungen und ihre Tiefpunkte bei 3π/2 plus ganzen Umdrehungen.
Der Kosinus ist die waagerechte Koordinate, deshalb beginnt sein Graph bei x = 0 mit 1, fällt bei π/2 auf 0 und erreicht bei π den Wert −1. Es ist dieselbe Welle wie der Sinus, um eine Vierteldrehung nach links verschoben: cos x = sin(x + π/2). Schalte im Labor den „Kosinusgraph“ ein, um beide Kurven nebeneinander zu sehen, immer eine Viertelperiode auseinander.
Die Welle strecken
Precalculus schreibt die allgemeine Sinusfunktion als y = A sin(Bx − C) + D. Hier zählen nur A und B. Die Zahl A streckt die Welle senkrecht; ihr Betrag |A| ist die Amplitude, die Höhe eines Hochpunkts über der Mittellinie. y = 3 sin x schwingt also zwischen 3 und −3. Die Zahl B staucht die Welle waagerecht: Die Periode wird zu P = 2π/|B|. Mit B = 2 wiederholt sich die Welle alle π, doppelt so oft; mit B = 1/2 braucht sie 4π, etwa 12.57, bis zur Wiederholung. Ein negatives A stellt die Welle auf den Kopf, ohne ihre Amplitude zu ändern.
- um 140 v. Chr.: Hipparch erstellt die erste bekannte Sehnentafel.
- um 500: Aryabhata tabelliert halbe Sehnen und nennt den Sinus jya.
- 628: Brahmagupta gibt dieselbe Sinustafel wieder.
- 980: Abu'l-Wafa kennt sin 2x = 2 sin x cos x.
- 1533: Regiomontanus' De triangulis, um 1464 geschrieben, wird veröffentlicht.
- 1583: Thomas Fincke benutzt zuerst den Namen Tangens.
- 1624: Edmund Gunter schreibt zuerst die Abkürzung sin.
- Periode von y = sin x auf 4 Nachkommastellen?
- Größter Wert von sin x?
- Bei welchem x zwischen 0 und 2π erreicht sin x den Wert −1?
- 3π/2
- π
- π/2
- 2π
- cos 0?
- Amplitude von y = 3 sin x?
- Amplitude von y = −2 sin x?
- Periode von y = sin 2x auf 4 Nachkommastellen?
- Periode von y = sin(x/2) auf 2 Nachkommastellen?
- cos x ist gleich:
- sin(x + π/2)
- sin(x + π)
- −sin x
- sin 2x
- Das lateinische Wort sinus, von dem der Sinus stammt, bedeutet:
- eine Falte
- eine Sehne
- ein Kreis
- ein Schatten
- Wer benutzte zuerst die Abkürzung sin, und in welchem Jahr? Gib das Jahr an.
- sin x trägt die Höhe eines Punktes auf dem Einheitskreis über dem Winkel auf.
- Periode 2π; Werte zwischen −1 und 1; Nullstellen bei Vielfachen von π.
- cos x = sin(x + π/2): dieselbe Welle, eine Vierteldrehung voraus.
- y = A sin(Bx): Amplitude |A|, Periode 2π/|B|.
- jya → jiba → jaib → sinus; sin zuerst 1624 von Gunter geschrieben.
Quellen zu diesem Kurs (6)
- OpenStax, Algebra and Trigonometry 2e : 7.2 Right Triangle Trigonometry (sin = opposite/hypotenuse, cos = adjacent/hypotenuse, tan = opposite/adjacent, mnemonic SohCahToa; reciprocal functions sec, csc, cot; 3-4-5 example; cos α = 15/17; 30-60-90 sides s, √3s, 2s and 45-45-90 sides s, s, √2s; cofunction identity for complementary angles, cos 34° = sin 56° form; tan 30° = 7/a gives a ≈ 12.1 and c = 7/sin 30° = 14; angle of elevation and depression; tree 30 ft at 57° ≈ 46.2 ft: openstax.org/books/algebra-and-trigonometry-2e/pages/7-2-right-triangle-trigonometry)
- OpenStax Precalculus 2e: 5.1 Angles (one degree is 1/360 of a rotation; one radian intercepts an arc equal to the radius; arc length s = rθ: openstax.org/books/precalculus-2e/pages/5-1-angles)
- 5.2 Unit Circle: Sine and Cosine Functions (cos t = x, sin t = y; Pythagorean Identity cos²t + sin²t = 1: .../pages/5-2-unit-circle-sine-and-cosine-functions)
- 6.1 Graphs of the Sine and Cosine Functions (period 2π; amplitude |A|; period P = 2π/|B| for y = A sin(Bx − C) + D: .../pages/6-1-graphs-of-the-sine-and-cosine-functions)
- MacTutor History of Mathematics, University of St Andrews: "The trigonometric functions" (first known table of chords by Hipparchus about 140 BC, founder of trigonometry; Ptolemy's 360° and Babylonian influence; Aryabhata about 500 used jya for sine; Brahmagupta 628; Abu'l-Wafa 980; jya → jiba → jaib (fold) → Latin sinus; Regiomontanus' De triangulis written about 1464, published 1533; tangent named by Thomas Fincke in 1583; Gunter co-sinus 1620, abbreviation sin 1624; Hérigone first used sin in a book in 1634; Thales used shadows to find the heights of pyramids: mathshistory.st-andrews.ac.uk/HistTopics/Trigonometric_functions/) and "Thales of Miletus" (Hieronymus via Diogenes Laertius: shadows measured when our shadows equal our height; Plutarch's version with a stick at the end of the pyramid's shadow and two triangles in the same ratio: mathshistory.st-andrews.ac.uk/Biographies/Thales/)
- OpenStax Calculus Volume 1, 3.5 Derivatives of Trigonometric Functions (d/dx sin x = cos x with x in radians: openstax.org/books/calculus-volume-1/pages/3-5-derivatives-of-trigonometric-functions)
Abgerufen: 2026-10-17