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Gráficas del seno y el coseno

Sigue la altura de un punto que da vueltas a una circunferencia y represéntala frente al ángulo: una vuelta dibuja una onda completa, de longitud 2π.

De la circunferencia a la onda

En la unidad anterior, el seno de un ángulo era la altura de un punto de la circunferencia unitaria. Ahora pon el ángulo en el eje horizontal de una gráfica, medido en radianes, y representa esa altura encima. En 0 el punto está en (1, 0), altura 0. Sube hasta la altura 1 en π/2, vuelve a 0 en π, baja a −1 en 3π/2 y vuelve a 0 en 2π, donde empezó. La curva que obtienes es la onda senoidal. Sigue dando vueltas y la misma forma se repite.

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Arrastra para girar. Desplaza o pellizca para acercar.

Pulsa Reproducir, o arrastra el punto por la circunferencia o a lo largo de la gráfica. La curva verde se dibuja hasta el ángulo actual. La curva morada es y = A sin(Bx); cambia A y B para estirarla.

Periodo y recorrido

OpenStax Precalculus describe sus rasgos principales. La gráfica se repite cada 2π, así que el seno es una función periódica de periodo 2π: sin(x + 2π) = sin x para todo x. Los valores nunca pasan de 1 ni bajan de −1, porque el punto se queda en una circunferencia de radio 1. La onda corta el eje en cada múltiplo de π, tiene sus máximos en π/2 más vueltas completas y sus mínimos en 3π/2 más vueltas completas.

El coseno es la coordenada horizontal, así que su gráfica empieza en 1 cuando x = 0, baja a 0 en π/2 y llega a −1 en π. Es la misma onda que el seno, desplazada un cuarto de vuelta a la izquierda: cos x = sin(x + π/2). Activa la gráfica del coseno en el laboratorio para ver las dos curvas juntas, siempre separadas un cuarto de periodo.

Un periodo de sin x (continua) y de cos x (discontinua).

Estirar la onda

Precalculus escribe la función sinusoidal general como y = A sin(Bx − C) + D. Aquí solo importan A y B. El número A estira la onda en vertical; su valor absoluto |A| es la amplitud, la altura de un máximo sobre la línea central. Así, y = 3 sin x oscila entre 3 y −3. El número B comprime la onda en horizontal: el periodo pasa a ser P = 2π/|B|. Con B = 2, la onda se repite cada π, el doble de veces; con B = 1/2 tarda 4π, unos 12.57, en repetirse. Una A negativa da la vuelta a la onda sin cambiar su amplitud.

ContextoEl nombre seno tiene una historia curiosa, que recoge MacTutor. Aryabhata, en la India hacia el año 500, hizo tablas de semicuerdas, que son auténticas tablas de senos, y llamó al seno jya. Los matemáticos árabes adoptaron la palabra como jiba, un sonido sin significado en árabe. Autores posteriores la escribieron jaib, una palabra árabe que significa pliegue, y los traductores europeos la pasaron al latín como sinus, que también significa pliegue. El uso de sinus rectus arcus por parte de Fibonacci ayudó a difundirla. La forma abreviada sin la usó por primera vez Edmund Gunter en 1624, en un dibujo, y apareció por primera vez en un libro en 1634, del matemático francés Hérigone.
  • hacia el 140 a. C.: Hiparco hace la primera tabla de cuerdas conocida.
  • hacia el 500: Aryabhata tabula semicuerdas y llama al seno jya.
  • 628: Brahmagupta reproduce la misma tabla de senos.
  • 980: Abu'l-Wafa conoce sin 2x = 2 sin x cos x.
  • 1533: Se publica De triangulis de Regiomontano, escrito hacia 1464.
  • 1583: Thomas Fincke usa por primera vez el nombre tangente.
  • 1624: Edmund Gunter escribe por primera vez la abreviatura sin.
  1. ¿Periodo de y = sin x, con 4 decimales?
  2. ¿Valor máximo de sin x?
  3. ¿En qué x entre 0 y 2π llega sin x a −1?
    • 3π/2
    • π
    • π/2
    • 2π
  4. ¿cos 0?
  5. ¿Amplitud de y = 3 sin x?
  6. ¿Amplitud de y = −2 sin x?
  7. ¿Periodo de y = sin 2x, con 4 decimales?
  8. ¿Periodo de y = sin(x/2), con 2 decimales?
  9. cos x es igual a:
    • sin(x + π/2)
    • sin(x + π)
    • −sin x
    • sin 2x
  10. La palabra latina sinus, de la que viene seno, significa:
    • un pliegue
    • una cuerda
    • un círculo
    • una sombra
  11. ¿Quién usó por primera vez la abreviatura sin, y en qué año? Da el año.
Ideas clave
  • sin x representa la altura de un punto de la circunferencia unitaria frente al ángulo.
  • Periodo 2π; valores entre −1 y 1; ceros en los múltiplos de π.
  • cos x = sin(x + π/2): la misma onda adelantada un cuarto de vuelta.
  • y = A sin(Bx): amplitud |A|, periodo 2π/|B|.
  • jya → jiba → jaib → sinus; sin lo escribió Gunter por primera vez en 1624.
Fuentes de este curso (6)
  • OpenStax, Algebra and Trigonometry 2e : 7.2 Right Triangle Trigonometry (sin = opposite/hypotenuse, cos = adjacent/hypotenuse, tan = opposite/adjacent, mnemonic SohCahToa; reciprocal functions sec, csc, cot; 3-4-5 example; cos α = 15/17; 30-60-90 sides s, √3s, 2s and 45-45-90 sides s, s, √2s; cofunction identity for complementary angles, cos 34° = sin 56° form; tan 30° = 7/a gives a ≈ 12.1 and c = 7/sin 30° = 14; angle of elevation and depression; tree 30 ft at 57° ≈ 46.2 ft: openstax.org/books/algebra-and-trigonometry-2e/pages/7-2-right-triangle-trigonometry)
  • OpenStax Precalculus 2e: 5.1 Angles (one degree is 1/360 of a rotation; one radian intercepts an arc equal to the radius; arc length s = rθ: openstax.org/books/precalculus-2e/pages/5-1-angles)
  • 5.2 Unit Circle: Sine and Cosine Functions (cos t = x, sin t = y; Pythagorean Identity cos²t + sin²t = 1: .../pages/5-2-unit-circle-sine-and-cosine-functions)
  • 6.1 Graphs of the Sine and Cosine Functions (period 2π; amplitude |A|; period P = 2π/|B| for y = A sin(Bx − C) + D: .../pages/6-1-graphs-of-the-sine-and-cosine-functions)
  • MacTutor History of Mathematics, University of St Andrews: "The trigonometric functions" (first known table of chords by Hipparchus about 140 BC, founder of trigonometry; Ptolemy's 360° and Babylonian influence; Aryabhata about 500 used jya for sine; Brahmagupta 628; Abu'l-Wafa 980; jya → jiba → jaib (fold) → Latin sinus; Regiomontanus' De triangulis written about 1464, published 1533; tangent named by Thomas Fincke in 1583; Gunter co-sinus 1620, abbreviation sin 1624; Hérigone first used sin in a book in 1634; Thales used shadows to find the heights of pyramids: mathshistory.st-andrews.ac.uk/HistTopics/Trigonometric_functions/) and "Thales of Miletus" (Hieronymus via Diogenes Laertius: shadows measured when our shadows equal our height; Plutarch's version with a stick at the end of the pyramid's shadow and two triangles in the same ratio: mathshistory.st-andrews.ac.uk/Biographies/Thales/)
  • OpenStax Calculus Volume 1, 3.5 Derivatives of Trigonometric Functions (d/dx sin x = cos x with x in radians: openstax.org/books/calculus-volume-1/pages/3-5-derivatives-of-trigonometric-functions)

Fecha de consulta: 2026-10-17